Propriétés sur les nombres entiers

Pour tout dividende entier et tout diviseur entier non nul, il existe un quotient unique et un reste unique, qui sont aussi des nombres entiers, tels que :$$\begin{array}{ccccccccl} \textcolor{olive}{\text{Dividende}} &=& \textcolor{colordef}{\text{Diviseur}} & \times & \textcolor{colorprop}{\text{Quotient}} & + & \textcolor{orange}{\text{Reste}} & \text{avec} & \textcolor{orange}{\text{Reste}} < \textcolor{colordef}{\text{Diviseur}}\\ \textcolor{olive}{13} &=& \textcolor{colordef}{3} & \times & \textcolor{colorprop}{4} & + & \textcolor{orange}{1} & \text{avec} & \textcolor{orange}{1} < \textcolor{colordef}{3} \\ \end{array}$$

On dit qu'un entier naturel non nul \(b\) divise un entier naturel \(a\) si \(a\) peut être obtenu en multipliant \(b\) par un autre entier \(k\) :$$ a = k \times b $$En d'autres termes, le nombre \(a\) apparaît dans la table de multiplication de \(b\).
Nous pouvons également utiliser les formulations suivantes :

• \(b\) est un diviseur de \(a\)
• \(b\) est un facteur de \(a\)
• \(a\) est divisible par \(b\)
• \(a\) est un multiple de \(b\)

Considérons les nombres \(10\) et \(5\).
Puisque nous pouvons écrire \(\textcolor{olive}{10} = \textcolor{colorprop}{2} \times \textcolor{colordef}{5}\), nous pouvons dire que :

• \(\textcolor{colordef}{5}\) divise \(\textcolor{olive}{10}\).
• \(\textcolor{colordef}{5}\) est un diviseur (ou facteur) de \(\textcolor{olive}{10}\).
• \(\textcolor{olive}{10}\) est divisible par \(\textcolor{colordef}{5}\).
• \(\textcolor{olive}{10}\) est un multiple de \(\textcolor{colordef}{5}\).

Pour vérifier si un nombre \(a\) est divisible par un nombre \(b\), effectuer la division euclidienne de \(a\) par \(b\).

• Si le reste est zéro, alors \(a\) est divisible par \(b\).
• Si le reste n'est pas zéro, alors \(a\) n'est pas divisible par \(b\).

\(13\) est-il divisible par \(5\) ?

Les critères de divisibilité sont des méthodes rapides pour déterminer si un nombre entier est divisible par un autre, sans effectuer de division longue. Ces règles sont utiles pour simplifier les calculs et mieux comprendre les propriétés des nombres. Voici quelques critères de divisibilité courants :

• Un nombre est divisible par \(2\) si son dernier chiffre est pair (\(0,2,4,6\) ou \(8\)).
• Un nombre est divisible par \(5\) si son dernier chiffre est \(0\) ou \(5\).

Détermine si \(946\) est divisible par \(2\).

Détermine si \(947\) est divisible par \(5\).

• Un nombre est divisible par \(3\) si la somme de ses chiffres est divisible par \(3\).
• Un nombre est divisible par \(9\) si la somme de ses chiffres est divisible par \(9\).

Détermine si \(948\) est divisible par \(3\).

Détermine si \(948\) est divisible par \(9\).

Un nombre est divisible par \(4\) si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est divisible par \(4\).

Détermine si \(917\) est divisible par \(4\).