Pourcentages
Qu'est-ce qu'un pourcentage?
Définition Pourcentage
Un pourcentage est un ratio sur \(100\).
Le symbole \(\pourcent\) signifie « pour cent », ce qui veut dire « sur cent ».
Le symbole \(\pourcent\) signifie « pour cent », ce qui veut dire « sur cent ».
Exemple
Cette grille a 100 carrés. Comme \(\textcolor{colorprop}{23}\) des \(\textcolor{colordef}{100}\) carrés sont coloriés, on dit que \(\textcolor{colorprop}{23}\textcolor{colordef}{\pourcent}\) de la grille est coloriée.
Convertir entre les formes
Les pourcentages, les fractions et les nombres décimaux sont trois manières différentes de parler de la même valeur. Par exemple, \(\textcolor{colorprop}{50}\textcolor{colordef}{\pourcent}\), la fraction \(\dfrac{\textcolor{colorprop}{1}}{\textcolor{colordef}{2}}\), et le nombre décimal \(0{,}5\) signifient tous « la moitié ». Savoir convertir entre ces formes est une compétence très utile.
Remarque : Une idée très importante est que \(100\pourcent = \dfrac{100}{100} = 1\).
Puisque \(100\pourcent\) est juste une autre façon d'écrire le nombre \(1\), tu peux multiplier n'importe quel nombre par \(100\pourcent\) sans changer sa valeur. C'est une astuce très utile pour convertir des nombres décimaux et des fractions en pourcentages.
Remarque : Une idée très importante est que \(100\pourcent = \dfrac{100}{100} = 1\).
Puisque \(100\pourcent\) est juste une autre façon d'écrire le nombre \(1\), tu peux multiplier n'importe quel nombre par \(100\pourcent\) sans changer sa valeur. C'est une astuce très utile pour convertir des nombres décimaux et des fractions en pourcentages.
Méthode Convertir un pourcentage en fraction
Pour convertir un pourcentage en fraction, écris-le comme une fraction sur 100, puis simplifie si possible. 
Méthode Convertir une fraction en pourcentage
Pour convertir une fraction comme \(\dfrac{\textcolor{colorprop}{3}}{\textcolor{colordef}{4}}\) en pourcentage, tu as deux méthodes courantes :
- Méthode 1 : Fractions équivalentes. Trouve une fraction équivalente avec un dénominateur de 100.
- Méthode 2 : Multiplier par \(100\pourcent\). Cela fonctionne car multiplier par \(100\pourcent\) revient à multiplier par 1. $$ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{colorprop}{3}}{\textcolor{colordef}{4}} &= 0,75 \quad (\text{car } 3 \div 4 = 0{,}75) \\ &= 0{,}75 \times \textcolor{colordef}{100\pourcent} \\ &= \textcolor{colorprop}{75}\textcolor{colordef}{\pourcent} \end{aligned} $$
Méthode Convertir un pourcentage en nombre décimal
Pour convertir un pourcentage en nombre décimal, divise par 100. Une façon rapide de le faire est de déplacer la virgule de deux places vers la gauche.$$ \textcolor{colorprop}{45}\textcolor{colordef}{\pourcent} = \textcolor{colorprop}{45} \div \textcolor{colordef}{100} = 0{,}45 $$
Méthode Convertir un nombre décimal en pourcentage
Pour convertir un nombre décimal en pourcentage, multiplie par 100. Une façon rapide de le faire est de déplacer la virgule de deux places vers la droite et d'ajouter le symbole pour cent (\(\pourcent\)).$$ 0,68 = 0,68 \times 100\pourcent = \textcolor{colorprop}{68}\textcolor{colordef}{\pourcent} $$
Du ratio au pourcentage
Les pourcentages sont l'un des meilleurs moyens de comparer une partie à un tout.
Par exemple, s'il y a \(\textcolor{colorprop}{12}\) filles dans une classe de \(\textcolor{colordef}{20}\) élèves, quel est le pourcentage de filles ? Pour résoudre ce problème, on peut établir une proportion pour trouver une fraction équivalente avec un dénominateur de 100 :$$\begin{aligned}\frac{\text{partie}}{\text{tout}} = \frac{\textcolor{colorprop}{12}}{\textcolor{colordef}{20}} &= \frac{\textcolor{colorprop}{x}}{\textcolor{colordef}{100}}\\ \textcolor{colorprop}{x} &= \frac{\textcolor{colorprop}{12}}{\textcolor{colordef}{20}} \times \textcolor{colordef}{100} && \text{(en multipliant les deux côtés par }\textcolor{colordef}{100})\\ \textcolor{colorprop}{x} &= \textcolor{colorprop}{60}\\ \end{aligned}$$Le pourcentage de filles dans la classe est de \(\textcolor{colorprop}{60}\textcolor{colordef}{\pourcent}\). Cela signifie que sur \(\textcolor{colordef}{100}\) élèves, \(\textcolor{colorprop}{60}\) seraient des filles.
Par exemple, s'il y a \(\textcolor{colorprop}{12}\) filles dans une classe de \(\textcolor{colordef}{20}\) élèves, quel est le pourcentage de filles ? Pour résoudre ce problème, on peut établir une proportion pour trouver une fraction équivalente avec un dénominateur de 100 :$$\begin{aligned}\frac{\text{partie}}{\text{tout}} = \frac{\textcolor{colorprop}{12}}{\textcolor{colordef}{20}} &= \frac{\textcolor{colorprop}{x}}{\textcolor{colordef}{100}}\\ \textcolor{colorprop}{x} &= \frac{\textcolor{colorprop}{12}}{\textcolor{colordef}{20}} \times \textcolor{colordef}{100} && \text{(en multipliant les deux côtés par }\textcolor{colordef}{100})\\ \textcolor{colorprop}{x} &= \textcolor{colorprop}{60}\\ \end{aligned}$$Le pourcentage de filles dans la classe est de \(\textcolor{colorprop}{60}\textcolor{colordef}{\pourcent}\). Cela signifie que sur \(\textcolor{colordef}{100}\) élèves, \(\textcolor{colorprop}{60}\) seraient des filles.
Méthode Ratio au pourcentage
Pour convertir un ratio partie-tout en pourcentage, utilise la formule suivante :$$\text{Pourcentage}= \frac{\textcolor{colorprop}{\text{partie}}}{\textcolor{colordef}{\text{tout}}} \times \textcolor{colordef}{100}\pourcent$$
Exemple
Tu as passé un quiz de mathématiques et tu as répondu correctement à \(\textcolor{colorprop}{21}\) questions sur un total de \(\textcolor{colordef}{24}\). Calcule ton score en pourcentage.
- La \(\textcolor{colorprop}{\text{partie}}\) est le nombre de bonnes réponses : \(\textcolor{colorprop}{21}\).
- Le \(\textcolor{colordef}{\text{tout}}\) est le nombre total de questions : \(\textcolor{colordef}{24}\).
- \(\begin{aligned}[t]\text{Score en pourcentage} &= \frac{\textcolor{colorprop}{21}}{\textcolor{colordef}{24}} \times \textcolor{colordef}{100}\pourcent\\ &= 0,875 \times 100\pourcent \\ &= \textcolor{colorprop}{87,5}\textcolor{colordef}{\pourcent}\end{aligned}\)
Comparer des ratios avec des pourcentages
Au Parlement A, il y a \(\textcolor{colorprop}{26}\) femmes sur \(\textcolor{colordef}{50}\) membres. Au Parlement B, il y a \(\textcolor{colorprop}{30}\) femmes sur \(\textcolor{colordef}{80}\) membres. Hugo dit : « Comme il y a plus de femmes au Parlement B, les femmes y sont mieux représentées. »
Cette affirmation est-elle une comparaison juste ?
Cette affirmation est-elle une comparaison juste ?
Pour faire une comparaison juste, nous devons comparer les pourcentages, pas les nombres absolus.
- Parlement A :
\(\text{Pourcentage de femmes} = \frac{\textcolor{colorprop}{26}}{\textcolor{colordef}{50}} \times 100\pourcent = \textcolor{colorprop}{52}\textcolor{colordef}{\pourcent}\) - Parlement B :
\(\text{Pourcentage de femmes} = \frac{\textcolor{colorprop}{30}}{\textcolor{colordef}{80}} \times 100\pourcent = \textcolor{colorprop}{37,5}\textcolor{colordef}{\pourcent}\)
Méthode Comparer avec des pourcentages
Pour comparer différents ratios partie-tout, les convertir en pourcentages fournit une base commune (sur 100), ce qui permet une comparaison juste et directe.
- Étape 1 : Calcule le pourcentage pour chaque groupe.
- Étape 2 : Compare les pourcentages pour tirer une conclusion.
Trouver la partie ou le tout
Méthode Trouver la partie
Pour trouver une partie d'un total, multiplie le pourcentage par le tout.$$\textcolor{colorprop}{\text{Partie}} = \text{Pourcentage} \times \textcolor{colordef}{\text{Tout}}$$N'oublie pas de convertir le pourcentage en nombre décimal ou en fraction avant de calculer.
Exemple
Dans une école de \(\textcolor{colordef}{200}\) élèves, \(\textcolor{colorprop}{60}\textcolor{colordef}{\pourcent}\) sont des filles. Calcule le nombre de filles.
Méthode 1 : Utilisation de la formule$$\begin{aligned}\textcolor{colorprop}{\text{Nombre de filles}} &= \textcolor{colorprop}{60}\textcolor{colordef}{\pourcent} \times \textcolor{colordef}{200} \\
&= 0,60 \times \textcolor{colordef}{200} \\
&= \textcolor{colorprop}{120}\end{aligned}$$Il y a \(\textcolor{colorprop}{120}\) filles dans l'école.Méthode 2 : Produit en croix
Établis une proportion où \(x\) est le nombre de filles.$$\begin{aligned}\frac{\textcolor{colorprop}{60}}{\textcolor{colordef}{100}} &= \frac{\textcolor{colorprop}{x}}{\textcolor{colordef}{200}} \\ \textcolor{colordef}{100} \times \textcolor{colorprop}{x} &= \textcolor{colorprop}{60} \times \textcolor{colordef}{200} \\ \textcolor{colorprop}{x} &= \frac{12000}{100} = \textcolor{colorprop}{120}\end{aligned}$$
Établis une proportion où \(x\) est le nombre de filles.$$\begin{aligned}\frac{\textcolor{colorprop}{60}}{\textcolor{colordef}{100}} &= \frac{\textcolor{colorprop}{x}}{\textcolor{colordef}{200}} \\ \textcolor{colordef}{100} \times \textcolor{colorprop}{x} &= \textcolor{colorprop}{60} \times \textcolor{colordef}{200} \\ \textcolor{colorprop}{x} &= \frac{12000}{100} = \textcolor{colorprop}{120}\end{aligned}$$
Méthode Trouver le tout
Pour trouver le tout quand tu connais une partie et son pourcentage, divise la partie par le pourcentage.$$\textcolor{colordef}{\text{Tout}} = \frac{\textcolor{colorprop}{\text{Partie}}}{\text{Pourcentage}}$$N'oublie pas de convertir le pourcentage en nombre décimal ou en fraction avant de calculer.
Exemple
Dans une classe, \(\textcolor{colorprop}{40}\textcolor{colordef}{\pourcent}\) des élèves sont des filles. S'il y a \(\textcolor{colorprop}{14}\) filles, quel est le nombre total d'élèves ?
Méthode 1 : Utilisation de la formule$$\begin{aligned}\textcolor{colordef}{\text{Total des élèves}} &= \frac{\textcolor{colorprop}{14}}{\textcolor{colorprop}{40}\textcolor{colordef}{\pourcent}} \\
&= \frac{\textcolor{colorprop}{14}}{0,40} \\
&= \textcolor{colordef}{35}\end{aligned}$$Il y a \(\textcolor{colordef}{35}\) élèves dans la classe.Méthode 2 : Produit en croix
Établis une proportion où \(x\) est le nombre total d'élèves.$$\begin{aligned}\frac{\textcolor{colorprop}{40}}{\textcolor{colordef}{100}} &= \frac{\textcolor{colorprop}{14}}{\textcolor{colordef}{x}} \\ \textcolor{colorprop}{40} \times \textcolor{colordef}{x} &= \textcolor{colorprop}{14} \times \textcolor{colordef}{100} \\ \textcolor{colordef}{x} &= \frac{1400}{40} = \textcolor{colordef}{35}\end{aligned}$$
Établis une proportion où \(x\) est le nombre total d'élèves.$$\begin{aligned}\frac{\textcolor{colorprop}{40}}{\textcolor{colordef}{100}} &= \frac{\textcolor{colorprop}{14}}{\textcolor{colordef}{x}} \\ \textcolor{colorprop}{40} \times \textcolor{colordef}{x} &= \textcolor{colorprop}{14} \times \textcolor{colordef}{100} \\ \textcolor{colordef}{x} &= \frac{1400}{40} = \textcolor{colordef}{35}\end{aligned}$$
Augmentation et diminution en pourcentage
Les quantités changent souvent d'un certain pourcentage. Par exemple :
- Un magasin offre une réduction de 20\(\pourcent\) (une diminution).
- Un salaire augmente de 7\(\pourcent\).
- La population d'une ville croît de 10\(\pourcent\).
Méthode Méthode en deux étapes pour le changement en pourcentage
- Calcule le montant du changement : $$\text{Changement} = \text{Pourcentage} \times \text{Valeur originale}$$
- Calcule la nouvelle valeur :
- Pour une augmentation : $$\text{Nouvelle valeur} = \text{Valeur originale} + \text{Changement}$$
- Pour une diminution : $$\text{Nouvelle valeur} = \text{Valeur originale} - \text{Changement}$$
Exemple
Le prix initial d'une chemise est de 50 \(\dollar\). Calcule le prix final après une réduction de 20\(\pourcent\).
- Calcule le montant de la réduction :$$\begin{aligned} \text{Réduction} &= 20\pourcent \text{ de } 50\dollar \\ &=20\pourcent \times 50\dollar \\ & = 0{,}20 \times 50\dollar \\ &= 10\dollar\end{aligned}$$
- Calcule le nouveau prix :$$\text{Nouveau prix} = 50\dollar - 10\dollar = 40\dollar $$