Angles

Les angles sont une notion de base en géométrie. Un angle se forme lorsque deux demi-droites se rencontrent en un point. Ce point est appelé le sommet de l’angle.

Qu'est-ce qu'un angle ?

Définition Angle

Un angle est l’ouverture (la mesure de la rotation) entre deux demi-droites qui partent du même point, appelé le sommet. Chaque demi-droite est un côté (ou bras) de l’angle.

Définition Notation d’un angle avec trois points

Un angle est nommé à l’aide de trois points avec le symbole $\AngleFr{ABC}$, où $B$ est le sommet de l’angle, et $A$ et $C$ sont des points sur les deux côtés de l’angle. Le sommet $B$ est toujours écrit au milieu pour indiquer le centre de l’angle.

Degrés

Un tour complet (un cercle entier) peut être partagé en 360 parties égales. Chaque partie s’appelle un degré.

Définition Unité de degré

Un degré, qu’on écrit avec le symbole $^\circ$, est une unité de mesure d’angle. Un tour complet mesure $360^\circ$.

Définition Mesure d’un angle en degrés

La mesure d’un angle en degrés indique quelle fraction d’un tour complet représente l’angle.

Exemple

Calcule la mesure d’un angle qui représente un tiers d’un tour complet.

Correction

$$\begin{aligned}\text{Angle} &= \frac{1}{3} \text{ de } 360^\circ \\ &= 360^\circ \div 3 \\ &= 120^\circ\end{aligned}$$

Mesurer et dessiner des angles avec un rapporteur

Définition Rapporteur

Un rapporteur est un outil utilisé pour mesurer et dessiner des angles en degrés. Il s’agit généralement d’un outil semi-circulaire avec une échelle graduée de $0^\circ$ à $180^\circ$.

Méthode Mesurer un angle avec un rapporteur

Placer l’origine du rapporteur (point central) sur le sommet de l’angle.
Aligner un rayon de l’angle avec la ligne de base du rapporteur (la marque $0^\circ$).
Observer où l’autre rayon croise l’échelle du rapporteur.
Lire la mesure de l’angle en degrés sur la bonne échelle (celle qui commence par $0^\circ$ sur le premier rayon).

Exemple

Mesure l’angle suivant.

Correction

Le deuxième rayon pointe vers $140^\circ$ sur le rapporteur, donc l’angle mesure $140^\circ$.

Méthode Dessiner un angle avec un rapporteur

Tracer un rayon à partir d’un point (le sommet).
Placer l’origine du rapporteur sur le sommet et aligner la ligne de base avec le rayon.
Repérer la mesure de l’angle souhaitée sur l’échelle du rapporteur et marquer le point.
Tracer un deuxième rayon depuis le sommet à travers le point marqué pour former l’angle.

Classification des angles

En géométrie, les angles sont classés en fonction de leur mesure. Le tableau ci-dessous définit quatre principaux types d’angles : aigu, droit, obtus et plat.

Définition Classification des angles

Nom	Fraction d’un tour complet	Mesure de l’angle	Figure
Angle aigu	Moins d’un quart de tour	Moins de $90^{\circ}$
Angle droit	Un quart de tour	Exactement $90^{\circ}$
Angle obtus	Entre un quart et un demi-tour	Entre $90^{\circ}$ et $180^{\circ}$
Angle plat	Un demi-tour	Exactement $180^{\circ}$

Addition des angles

Proposition Postulat de l’addition des angles

Lorsque deux angles sont adjacents (ils partagent un même sommet et un côté commun), la mesure de l’angle formé par leurs autres côtés est égale à la somme de leurs mesures.

$\AngleFr{ABC} = \textcolor{colordef}{\AngleFr{ABD}} + \textcolor{colorprop}{\AngleFr{DBC}}$

Méthode Calcul d’un angle

Pour trouver la mesure d’un angle inconnu, utilise les mesures des angles connus qui lui sont liés. Si l’angle inconnu est formé de deux angles adjacents partageant un sommet et un côté communs, additionne les mesures des deux angles en utilisant le postulat de l’addition des angles.

Exemple

Calcule $\AngleFr{ABC}$ sans utiliser de rapporteur.

Correction

Les angles $\AngleFr{ABD}$ et $\AngleFr{DBC}$ sont adjacents et forment $\AngleFr{ABC}$. En utilisant le postulat de l’addition des angles :$$\begin{aligned}\AngleFr{ABC} &= \textcolor{colordef}{\AngleFr{ABD}} + \textcolor{colorprop}{\AngleFr{DBC}} \\ &= \textcolor{colordef}{60^\circ} + \textcolor{colorprop}{50^\circ} \\ &= 110^\circ\end{aligned}$$

Propriétés des angles

Proposition Propriétés des angles

Angle droit : Si deux angles adjacents forment un angle droit, la somme de leurs mesures est $90^\circ$ (ce sont des angles complémentaires).
Angle plat : Si deux angles adjacents forment un angle plat, la somme de leurs mesures est $180^\circ$ (ce sont des angles supplémentaires).
Angle complet : Si plusieurs angles autour d’un point forment une rotation complète, la somme de leurs mesures est $360^\circ$.

Exemple

Calcule $x^{\circ}$.

Correction

Puisque les deux angles forment un angle droit, la somme de leurs mesures est $90^\circ$ :$$\begin{aligned}x^\circ + 35^\circ &= 90^\circ \\ x^\circ &= 90^\circ - 35^\circ \\ x^\circ &= 55^\circ\end{aligned}$$