Multiplication en colonne
La multiplication en colonne est une méthode systématique pour multiplier des nombres, particulièrement ceux à plusieurs chiffres. Elle repose sur une connaissance fondamentale des tables de multiplication à un chiffre et de la valeur de position. Ce chapitre détaillera l'algorithme standard de cette procédure.
Multipler les dizaines
Pour nous préparer à la multiplication en colonne, explorons un modèle. Que se passe-t-il lorsque l'on multiplie un nombre par 10, 20, 30 ou d'autres multiples de 10 ?
- 3 groupes de 10 (\(3 \times 10\)):
\(\textcolor{colordef}{3}\times \textcolor{colorprop}{1}0\) \(=\) \(\textcolor{colordef}{3}\times\) 
\(=\) \(+\) \(+\) \(=\) \(\textcolor{olive}{3}0\) - 3 groupes de 20 (\(3 \times 20\)):
\(\textcolor{colordef}{3}\times \textcolor{colorprop}{2}0\) \(=\) \(\textcolor{colordef}{3}\times\) 
\(=\) \(+\) \(+\) \(=\) \(\textcolor{olive}{6}0\)
- \(3 \times 4 = 12 \quad \rightarrow \quad 3 \times 40 = 120\)
- \(3 \times 5 = 15 \quad \rightarrow \quad 3 \times 50 = 150\)
- \(3 \times 6 = 18 \quad \rightarrow \quad 3 \times 60 = 180\)
Proposition La règle « Ajouter un zéro »
Pour multiplier par un multiple de 10, tu peux d'abord multiplier les chiffres non nuls, puis placer un zéro à la fin de ta réponse.\(\begin{aligned}\textcolor{colordef}{3}\times \textcolor{colorprop}{1}&=\textcolor{olive}{3}\\\textcolor{colordef}{3}\times \textcolor{colorprop}{2}&=\textcolor{olive}{6 }\\\textcolor{colordef}{3}\times \textcolor{colorprop}{3}&=\textcolor{olive}{9 }\\\textcolor{colordef}{3}\times \textcolor{colorprop}{4}&=\textcolor{olive}{12 }\\\textcolor{colordef}{3}\times \textcolor{colorprop}{5}&=\textcolor{olive}{15 }\\\textcolor{colordef}{3}\times \textcolor{colorprop}{6}&=\textcolor{olive}{18 }\\\textcolor{colordef}{3}\times \textcolor{colorprop}{7}&=\textcolor{olive}{21 }\\\textcolor{colordef}{3}\times \textcolor{colorprop}{8}&=\textcolor{olive}{24 }\\\textcolor{colordef}{3}\times \textcolor{colorprop}{9}&=\textcolor{olive}{27 }\\\end{aligned}\) \(\quad \rightarrow \quad\) \(\begin{aligned}\textcolor{colordef}{3}\times \textcolor{colorprop}{1}0&=\textcolor{olive}{3}0\\\textcolor{colordef}{3}\times \textcolor{colorprop}{2}0&=\textcolor{olive}{6}0\\\textcolor{colordef}{3}\times \textcolor{colorprop}{3}0&=\textcolor{olive}{9}0\\\textcolor{colordef}{3}\times \textcolor{colorprop}{4}0&=\textcolor{olive}{12}0\\\textcolor{colordef}{3}\times \textcolor{colorprop}{5}0&=\textcolor{olive}{15}0\\\textcolor{colordef}{3}\times \textcolor{colorprop}{6}0&=\textcolor{olive}{18}0\\\textcolor{colordef}{3}\times \textcolor{colorprop}{7}0&=\textcolor{olive}{21}0\\\textcolor{colordef}{3}\times \textcolor{colorprop}{8}0&=\textcolor{olive}{24}0\\\textcolor{colordef}{3}\times \textcolor{colorprop}{9}0&=\textcolor{olive}{27}0\\\end{aligned}\)
Multiplication en colonne par un nombre à un chiffre
La méthode développée de la multiplication consiste à calculer des produits partiels pour chaque valeur de position, puis à les additionner. Par exemple, pour calculer \(764 \times 2\) : 
Bien que précise, cette méthode peut être inefficace. L'algorithme standard de la multiplication en colonne rationalise ce processus en intégrant une technique de retenue, analogue à celle utilisée dans l'addition en colonne.
Méthode Multiplication en colonne par un chiffre
Pour calculer \(23 \times 7\), la procédure est la suivante :
- Étape 1 : Aligner les nombres. Placer les nombres verticalement, en alignant les chiffres par valeur de position.
- Étape 2 : Multiplier le chiffre des unités. $$\textcolor{colordef}{3} \text{ unités} \times \textcolor{colordef}{7} \text{ unités} = 21 \text{ unités} = \textcolor{olive}{2} \text{ dizaines} + \textcolor{colorprop}{1} \text{ unité}$$ Écrire le \(\textcolor{colorprop}{1}\) dans la colonne des unités du résultat. Reporter le \(\textcolor{olive}{2}\) dans la colonne des dizaines.
- Étape 3 : Multiplier le chiffre des dizaines et ajouter la retenue. $$\textcolor{colordef}{2} \text{ dizaines} \times \textcolor{colordef}{7} \text{ unités} + \textcolor{olive}{2} \text{ dizaines (retenue)}= \textcolor{colorprop}{16} \text{ dizaines}$$Écrire \(\textcolor{colorprop}{16}\) dans les colonnes des dizaines (pas de retenue car plus rien à calculer).
- Résultat : \(23 \times 7 = 161\).
Multiplication en colonne par des nombres à plusieurs chiffres
Pour calculer un produit tel que \(23 \times 37\), la propriété distributive est appliquée. La multiplication est décomposée en deux produits plus simples :$$\begin{aligned}23 \times 37 &= 23 \times (7 + 30) \\
&= (23 \times 7) + (23 \times 30) \\
&= \textcolor{colorprop}{161} + \textcolor{colordef}{690} \\
&= 851 \end{aligned}$$La méthode de multiplication en colonne organise ce processus en un algorithme standard. On note que lors de la multiplication par le chiffre des dizaines (3), le produit partiel (\(690\)) est décalé d'une position vers la gauche. Ceci est indiqué par un zéro de position.
Méthode Multiplication en colonne par un nombre à deux chiffres
Pour calculer \(23 \times 37\) :
- Étape 1 : Aligner les nombres verticalement par valeur de position.
- Étape 2 : Multiplier par le chiffre des unités. Multiplier le nombre du haut (23) par le chiffre des unités du nombre du bas (7) \(\textcolor{colordef}{23}\times\textcolor{colordef}{7}=\textcolor{colorprop}{161}\).
- Étape 3 : Multiplier par le chiffre des dizaines.
- D'abord, placer un \(\textcolor{olive}{0}\) de position dans la colonne des unités de la deuxième ligne. C'est parce que nous multiplions maintenant par le chiffre des dizaines (\(\textcolor{colordef}{3}\), qui représente 30). Ce zéro décale notre réponse d'une position vers la gauche.
- Ensuite, multiplier le nombre du haut (23) par le chiffre des dizaines (\(\textcolor{colordef}{3}\)). Calculer \(\textcolor{colordef}{23}\times\textcolor{colordef}{3}=\textcolor{colorprop}{69}\) et l'écrire à gauche du zéro de position.
- Étape 4 : Additionner les produits partiels. Additionner les résultats des étapes 2 et 3 : \(\textcolor{colordef}{161}+\textcolor{colordef}{690}=\textcolor{colorprop}{851}\)
- Résultat : \(23 \times 37 = 851\).