Division avec reste

En mathématiques, la division est utilisée pour le partage ou le groupement en parts égales. Parfois, un nombre ne peut pas être partagé parfaitement. La quantité qui reste après le partage est appelée le reste.

La division est l'opération inverse de la multiplication. C'est le processus qui consiste à déterminer combien de fois un nombre est contenu dans un autre.
Les composantes d'une expression de division sont formellement nommées :

• Le dividende : le nombre qui est divisé.
• Le diviseur : le nombre par lequel on divise le dividende.
• Le quotient : le résultat de la division.

L'opération est indiquée par le symbole de division (\(\div\)).$$\textcolor{olive}{\text{Dividende}} \div \textcolor{colordef}{\text{Diviseur}} = \textcolor{colorprop}{\text{Quotient}}$$ Par exemple, le fait de multiplication \(\textcolor{colordef}{3} \times \textcolor{colorprop}{2} = \textcolor{olive}{6}\) correspond à :$$\underbrace{\textcolor{olive}{6}}_{\textcolor{olive}{\text{Dividende}}} \div \underbrace{\textcolor{colordef}{3}}_{\textcolor{colordef}{\text{Diviseur}}} = \underbrace{\textcolor{colorprop}{2}}_{\textcolor{colorprop}{\text{Quotient}}} $$La division peut être représentée de plusieurs manières :

• Forme numérique : $$\textcolor{olive}{6}\div \textcolor{colordef}{3}=\textcolor{colorprop}{2}$$
• En mots : Six divisé par trois égale deux.
• Modèle en grille :

La division euclidienne est le processus de division d'un entier (le dividende) par un autre (le diviseur) lorsque la division n'est pas exacte. Ce processus produit un quotient entier et un reste.
Les composantes d'une expression de division euclidienne sont formellement nommées :

• Le dividende : le nombre qui est divisé.
• Le diviseur : le nombre par lequel on divise le dividende.
• Le quotient : le nombre entier de fois que le diviseur est contenu dans le dividende.
• Le reste : la quantité restante après la division.

Cette relation est définie par l'identité :$$\textcolor{olive}{\text{Dividende}} = (\textcolor{colordef}{\text{Diviseur}} \times \textcolor{colorprop}{\text{Quotient}}) + \textcolor{orange}{\text{Reste}}$$Règles importantes :

• Le reste est toujours plus petit que le diviseur.
• Si le reste est \(0\), la division est exacte.

La division euclidienne peut être représentée de plusieurs manières :

• En mots :Sept divisé par trois égale deux, avec un reste de \(\textcolor{orange}{\text{un}}\)
• Phrase de division :$$\underbrace{\textcolor{olive}{7}}_{\textcolor{olive}{\text{Dividende}}} \div \underbrace{\textcolor{colordef}{3}}_{\textcolor{colordef}{\text{Diviseur}}} = \divionRemainderFr{\underbrace{\textcolor{colorprop}{2}}_{\textcolor{colorprop}{\text{Quotient}}}}{\underbrace{\textcolor{orange}{1}}_{\textcolor{orange}{\text{Reste}}}}$$
• Identité euclidienne :$$\underbrace{\textcolor{olive}{7}}_{\textcolor{olive}{\text{Dividende}}}= (\underbrace{\textcolor{colordef}{3}}_{\textcolor{colordef}{\text{Diviseur}}} \times \underbrace{\textcolor{colorprop}{2}}_{\textcolor{colorprop}{\text{Quotient}}}) +\underbrace{\textcolor{orange}{1}}_{\textcolor{orange}{\text{Reste}}}$$
• Modèle en groupes :
• Algorithme de la division posée :

Pour faire une division avec reste, comme \(\textcolor{olive}{13} \div \textcolor{colordef}{4}\), suis ces étapes :

• Poser : Ecrire le dividende (\(\textcolor{olive}{13}\)) dans la potence et le diviseur (\(\textcolor{colordef}{4}\)) à l’extérieur.
• Diviser : Dans \(\textcolor{olive}{13}\), combien de fois \(\textcolor{colordef}{4}\) ? On sait que :\(\begin{aligned}\textcolor{colordef}{4}\times \textcolor{colorprop}{3}&=\boxed{12}\ (\leqslant\,\textcolor{olive}{13}),\\\textcolor{colordef}{4}\times \textcolor{colorprop}{4}&=\cancel{16}\ (> \textcolor{olive}{13}).\end{aligned}\)
  On écrit \(\textcolor{colorprop}{3}\) au-dessus de la ligne et \(12\) sous \(\textcolor{olive}{13}\).
• Soustraire : Soustraire 12 de 13 pour trouver le reste. \(13 - 12 = \textcolor{orange}{1}\).
• Réponse : \(\textcolor{olive}{13} \div \textcolor{colordef}{4} = \divionRemainderFr{\textcolor{colorprop}{3}}{\textcolor{orange}{1}}\) et \(\textcolor{olive}{13} = \textcolor{colordef}{4}\times \textcolor{colorprop}{3}+\textcolor{orange}{1}\).

Pour faire une division avec reste, comme \(\textcolor{olive}{130} \div \textcolor{colordef}{4}\), suis ces étapes :

• Poser : écrire le dividende (\(\textcolor{olive}{130}\)) dans la potence et le diviseur (\(\textcolor{colordef}{4}\)) à l’extérieur.
• Diviser la première partie : Dans \(\textcolor{olive}{13}\), combien de fois \(\textcolor{colordef}{4}\) ?$$\textcolor{colordef}{4}\times \textcolor{colorprop}{3}=\boxed{12}\ (\le \textcolor{olive}{13}),\qquad\textcolor{colordef}{4}\times \textcolor{colorprop}{4}=\cancel{16}\ (> \textcolor{olive}{13}).$$On écrit \(\textcolor{colorprop}{3}\) en haut et \(12\) sous \(13\).
• Abaisser : On soustrait \(\textcolor{olive}{13}-12=\textcolor{olive}{1}\) puis on abaisse le chiffre suivant (\(0\)) pour obtenir \(\textcolor{olive}{10}\).
• Diviser le nouveau nombre (10) : Dans \(\textcolor{olive}{10}\), combien de fois \(\textcolor{colordef}{4}\) ?$$\textcolor{colordef}{4}\times \textcolor{colorprop}{2}=\boxed{8}\ (\le \textcolor{olive}{10}),\qquad\textcolor{colordef}{4}\times \textcolor{colorprop}{3}=\cancel{12}\ (> \textcolor{olive}{10}).$$On écrit \(\textcolor{colorprop}{2}\) en haut, on pose \(8\) sous \(10\), puis on soustrait.
• Réponse : \(\textcolor{olive}{130} \div \textcolor{colordef}{4}= \divionRemainderFr{\textcolor{colorprop}{32}}{\textcolor{orange}{2}}\) et \(\textcolor{olive}{130}=\textcolor{colordef}{4}\times \textcolor{colorprop}{32}+\textcolor{orange}{2}\).

La division avec reste répond aux deux mêmes types de questions. Quand le total ne se répartit pas exactement, on note un reste.

• Partage. Le nombre de groupes est connu ; on cherche la taille de chaque groupe (et ce qu’il reste).$$\textcolor{olive}{\text{total}} \div \textcolor{colordef}{\text{nombre de groupes}}= \textcolor{colorprop}{\text{taille de chaque groupe}} \text{ avec un } \textcolor{orange}{\text{reste}}.$$Exemple : 13 biscuits sont partagés entre 3 amis.$$\textcolor{olive}{\text{13 biscuits}} \div \textcolor{colordef}{\text{3 amis}}= \textcolor{colorprop}{\text{4 biscuits par ami}} \text{ avec un reste de } \textcolor{orange}{\text{1 biscuit}}.$$
• Groupement. La taille de chaque groupe est connue ; on cherche combien de groupes complets on peut former (et ce qu’il reste).$$\textcolor{olive}{\text{total}} \div \textcolor{colorprop}{\text{taille de chaque groupe}}= \textcolor{colordef}{\text{nombre de groupes}} \text{ avec un } \textcolor{orange}{\text{reste}}.$$Exemple : on met 13 biscuits dans des sachets de 4 biscuits.$$\textcolor{olive}{\text{13 biscuits}} \div \textcolor{colorprop}{\text{4 biscuits par sachet}}= \textcolor{colordef}{\text{3 sachets}} \text{ avec un reste de } \textcolor{orange}{\text{1 biscuit}}.$$