Multiplication

En mathématiques, tu cherches toujours des moyens plus rapides pour résoudre les problèmes. Pense à quand tu additionnes le même nombre encore et encore. C'est ce qu'on appelle l'addition répétée. La multiplication est un raccourci puissant pour l'addition répétée !

Qu'est-ce que la multiplication ?

Découverte

Louis adore les pommes et mange 2 pommes chaque jour :

.
Comment pourrait-on savoir combien de pommes il mange en une semaine (7 jours) ?

Correction

Une façon de faire est d'utiliser l'addition répétée. On peut additionner 2 pommes pour chacun des 7 jours :$$\textcolor{colorprop}{2}+\textcolor{colorprop}{2}+\textcolor{colorprop}{2}+\textcolor{colorprop}{2}+\textcolor{colorprop}{2}+\textcolor{colorprop}{2}+\textcolor{colorprop}{2} = 14$$Cela fonctionne, mais c'est long à écrire. Une manière beaucoup plus rapide est d'utiliser la multiplication.
Quand on a $\textcolor{colordef}{7}$ groupes de $\textcolor{colorprop}{2}$, on peut l'écrire $\textcolor{colordef}{7}\times \textcolor{colorprop}{2}$. Le symbole $\times$ signifie « fois » ou « groupes de ».$$\textcolor{colordef}{7}\times \textcolor{colorprop}{2} \quad \text{c'est la même chose que} \quad \textcolor{colorprop}{2}+\textcolor{colorprop}{2}+\textcolor{colorprop}{2}+\textcolor{colorprop}{2}+\textcolor{colorprop}{2}+\textcolor{colorprop}{2}+\textcolor{colorprop}{2}$$

Définition Multiplication

La multiplication est une façon rapide de montrer une addition répétée. On peut représenter l'idée de « quatre fois trois égale douze » de nombreuses manières :

Avec des nombres : $$\textcolor{colordef}{4}\times \textcolor{colorprop}{3}=\textcolor{olive}{12}$$
En groupes : $$\textcolor{colordef}{4}\text{ groupes de }\textcolor{colorprop}{3}=\textcolor{olive}{12}$$
En addition répétée :$$\textcolor{colorprop}{3}+\textcolor{colorprop}{3}+\textcolor{colorprop}{3}+\textcolor{colorprop}{3}=\textcolor{olive}{12}$$
Avec des cubes :
Avec un modèle partie-tout :

Exemple

Écris l'addition répétée $\textcolor{colorprop}{5}+\textcolor{colorprop}{5}+\textcolor{colorprop}{5}$ sous forme de multiplication.

Correction

On additionne le nombre 5, et on l'additionne 3 fois. Donc, la multiplication est :$$ \textcolor{colordef}{3}\times \textcolor{colorprop}{5}$$

Sur la droite numérique

Découverte

Prenons la multiplication : $\textcolor{colordef}{4} \times \textcolor{colorprop}{3}$ c’est-à-dire :$$\textcolor{colorprop}{3}+\textcolor{colorprop}{3}+\textcolor{colorprop}{3}+\textcolor{colorprop}{3}$$Nous pouvons visualiser cela sur une droite numérique :

En partant de 0, nous nous déplaçons de 3 unités vers la droite 4 fois. Chaque déplacement représente une addition : $0 + \textcolor{colorprop}{3}$, $3 + \textcolor{colorprop}{3}$, $6 + \textcolor{colorprop}{3}$, $9+\textcolor{colorprop}{3}$. Comme vous pouvez le voir, nous arrivons à $\textcolor{olive}{12}$, qui est le résultat de la multiplication $\textcolor{colordef}{4} \times \textcolor{colorprop}{3}$.

Méthode Multiplication sur la droite numérique

On peut montrer la multiplication comme des « sauts » sur une droite numérique. Pour montrer $\textcolor{colordef}{4} \times \textcolor{colorprop}{3}$, on peut commencer à 0 et faire $\textcolor{colordef}{4}$ sauts de taille $\textcolor{colorprop}{3}$.

Chaque saut représente l'ajout de 3. Après 4 sauts, on atterrit sur $\textcolor{olive}{12}$. Donc, $\textcolor{colordef}{4} \times \textcolor{colorprop}{3} = \textcolor{olive}{12}$.

La multiplication dans les problèmes

Méthode Trouver le total avec des groupes

Dans les problèmes, on peut trouver le total en multipliant le nombre de groupes par le nombre d'objets dans chaque groupe.$$\textcolor{colordef}{\text{Nombre de groupes}} \times \textcolor{colorprop}{\text{Nombre dans chaque groupe}} =\textcolor{olive}{\text{Total}} $$Par exemple, s'il y a $\textcolor{colordef}{3}$ sacs et que chaque sac contient $\textcolor{colorprop}{2}$ pommes, le nombre total de pommes est :$$\textcolor{colordef}{3} \times \textcolor{colorprop}{2} = \textcolor{olive}{6}$$

Est-ce que l'ordre est important ?

Proposition Propriété commutative

La multiplication est commutative : changer l’ordre des facteurs ne change pas le produit.

Décomposer avec l'addition

Découverte

Résolvons un problème de multiplication difficile. Nous devons trouver le total pour 7 groupes de 6 cubes, ce qui correspond à $7 \times 6$.
Multiplier par 7 peut être difficile. Mais multiplier par 5 est facile ! Nous savons que :

5 groupes de 6 cubes ont 30 cubes ($5 \times 6 = 30$).
2 groupes de 6 cubes ont 12 cubes ($2 \times 6 = 12$).

Comment pouvons-nous utiliser ces deux calculs faciles pour résoudre le problème plus difficile de $7 \times 6$ ?

Correction

Puisque 6 groupes, c'est simplement 5 groupes plus 2 groupes de plus, nous pouvons simplement additionner leurs totaux !$$\begin{aligned}[t]\text{Total pour 7 groupes} &= (\text{Total pour 5 groupes}) + (\text{Total pour 2 groupes})\\ 7 \times 6 &= (5 \times 6) + (2 \times 6)\\ &=30+12\\ &=42\end{aligned}$$Il y a donc 42 cubes au total.

Méthode La stratégie de la décomposition

Cette stratégie puissante s'appelle la propriété distributive. Cela signifie que tu peux « décomposer » une multiplication difficile en deux multiplications plus faciles, puis additionner les résultats.
Par exemple, pour résoudre $7 \times 6$, on peut décomposer le 7 en 5 et 2 :$$\begin{aligned}[t]\text{Total pour 7 groupes} &= (\text{Total pour 5 groupes}) + (\text{Total pour 2 groupes})\\ 7 \times 6 &= (5 \times 6) + (2 \times 6)\\ &=30+12\\ &=42\end{aligned}$$

Décomposer avec la soustraction

Découverte

Essayons un autre problème : $9 \times 8$.
Multiplier par 9 peut être difficile. Mais multiplier par 10 est facile ! Nous savons que :

10 groupes de 8 cubes ont 80 cubes ($10 \times 8 = 80$).
1 groupe de 8 cubes a 8 cubes ($1 \times 8 = 8$).

Comment le fait de connaître la réponse pour 10 groupes peut-il nous aider à trouver la réponse pour seulement 9 groupes ?

Correction

Puisque 9 groupes, c'est simplement 1 groupe de moins que 10 groupes, nous pouvons commencer avec le total pour 10 groupes et simplement soustraire ce groupe en trop.$$\begin{aligned}[t]\text{Total pour 9 groupes} &= (\text{Total pour 10 groupes}) - (\text{Total pour 1 groupe})\\ 9 \times 8 &= (10 \times 8) - (1 \times 8) \\ &= 80 - 8 \\ &= 72\end{aligned}$$Il y a donc 72 cubes au total.

Méthode Utiliser la soustraction pour décomposer

C'est une autre façon d'utiliser la propriété distributive. C'est très utile lorsqu'on multiplie par des nombres proches d'un multiple de dix (comme 8, 9, 18 ou 19).Pour résoudre $9 \times 8$, tu peux penser à 9 comme étant $(10 - 1)$:$$\begin{aligned}[t]\text{Total pour 9 groupes} &= (\text{Total pour 10 groupes}) - (\text{Total pour 1 groupe})\\ 9 \times 8 &= (10 \times 8) - (1 \times 8) \\ &= 80 - 8 \\ &= 72\end{aligned}$$