\( \definecolor{colordef}{RGB}{249,49,84} \definecolor{colorprop}{RGB}{18,102,241} \)

Multiplication

En mathématiques, tu cherches toujours des moyens plus rapides pour résoudre les problèmes. Pense à quand tu additionnes le même nombre encore et encore. C'est ce qu'on appelle l'addition répétée. La multiplication est un raccourci puissant pour l'addition répétée !

Qu'est-ce que la multiplication ?


Louis adore les pommes et mange 2 pommes chaque jour : .
Comment pourrait-on savoir combien de pommes il mange en une semaine (7 jours) ?

Une façon de faire est d'utiliser l'addition répétée. On peut additionner 2 pommes pour chacun des 7 jours :$$\textcolor{colorprop}{2}+\textcolor{colorprop}{2}+\textcolor{colorprop}{2}+\textcolor{colorprop}{2}+\textcolor{colorprop}{2}+\textcolor{colorprop}{2}+\textcolor{colorprop}{2} = 14$$Cela fonctionne, mais c'est long à écrire. Une manière beaucoup plus rapide est d'utiliser la multiplication.
Quand on a \(\textcolor{colordef}{7}\) groupes de \(\textcolor{colorprop}{2}\), on peut l'écrire \(\textcolor{colordef}{7}\times \textcolor{colorprop}{2}\). Le symbole \(\times\) signifie « fois » ou « groupes de ».$$\textcolor{colordef}{7}\times \textcolor{colorprop}{2} \quad \text{c'est la même chose que} \quad \textcolor{colorprop}{2}+\textcolor{colorprop}{2}+\textcolor{colorprop}{2}+\textcolor{colorprop}{2}+\textcolor{colorprop}{2}+\textcolor{colorprop}{2}+\textcolor{colorprop}{2}$$


Définition Multiplication
La multiplication est une façon rapide de montrer une addition répétée. On peut représenter l'idée de « quatre fois trois égale douze » de nombreuses manières :
  • Avec des nombres : $$\textcolor{colordef}{4}\times \textcolor{colorprop}{3}=\textcolor{olive}{12}$$
  • En groupes : $$\textcolor{colordef}{4}\text{ groupes de }\textcolor{colorprop}{3}=\textcolor{olive}{12}$$
  • En addition répétée :$$\textcolor{colorprop}{3}+\textcolor{colorprop}{3}+\textcolor{colorprop}{3}+\textcolor{colorprop}{3}=\textcolor{olive}{12}$$
  • Avec des cubes :
  • Avec un modèle partie-tout :
Exemple
Écris l'addition répétée \(\textcolor{colorprop}{5}+\textcolor{colorprop}{5}+\textcolor{colorprop}{5}\) sous forme de multiplication.

On additionne le nombre 5, et on l'additionne 3 fois. Donc, la multiplication est :$$ \textcolor{colordef}{3}\times \textcolor{colorprop}{5}$$

Sur la droite numérique


Prenons la multiplication : \(\textcolor{colordef}{4} \times \textcolor{colorprop}{3}\) c’est-à-dire :$$\textcolor{colorprop}{3}+\textcolor{colorprop}{3}+\textcolor{colorprop}{3}+\textcolor{colorprop}{3}$$Nous pouvons visualiser cela sur une droite numérique :
En partant de 0, nous nous déplaçons de 3 unités vers la droite 4 fois. Chaque déplacement représente une addition : \(0 + \textcolor{colorprop}{3}\), \(3 + \textcolor{colorprop}{3}\), \(6 + \textcolor{colorprop}{3}\), \(9+\textcolor{colorprop}{3}\). Comme vous pouvez le voir, nous arrivons à \(\textcolor{olive}{12}\), qui est le résultat de la multiplication \(\textcolor{colordef}{4} \times \textcolor{colorprop}{3}\).

Méthode Multiplication sur la droite numérique
On peut montrer la multiplication comme des « sauts » sur une droite numérique. Pour montrer \(\textcolor{colordef}{4} \times \textcolor{colorprop}{3}\), on peut commencer à 0 et faire \(\textcolor{colordef}{4}\) sauts de taille \(\textcolor{colorprop}{3}\).
Chaque saut représente l'ajout de 3. Après 4 sauts, on atterrit sur \(\textcolor{olive}{12}\). Donc, \(\textcolor{colordef}{4} \times \textcolor{colorprop}{3} = \textcolor{olive}{12}\).

La multiplication dans les problèmes

Méthode Trouver le total avec des groupes
Dans les problèmes, on peut trouver le total en multipliant le nombre de groupes par le nombre d'objets dans chaque groupe.$$\textcolor{colordef}{\text{Nombre de groupes}} \times \textcolor{colorprop}{\text{Nombre dans chaque groupe}} =\textcolor{olive}{\text{Total}} $$Par exemple, s'il y a \(\textcolor{colordef}{3}\) sacs et que chaque sac contient \(\textcolor{colorprop}{2}\) pommes, le nombre total de pommes est :$$\textcolor{colordef}{3} \times \textcolor{colorprop}{2} = \textcolor{olive}{6}$$

Est-ce que l'ordre est important ?


Hugo et Louis regardent ce groupe de cubes.
Pour trouver le total, Hugo pense qu'ils devraient calculer \(\textcolor{colordef}{3}\times \textcolor{colorprop}{2}\), mais Louis pense que ça devrait être \(\textcolor{colordef}{2}\times \textcolor{colorprop}{3}\).Qui a raison ? Est-ce que les deux peuvent avoir raison ?

Regardons leur façon de penser. Ils ont tous les deux raison !
  • Louis voit \(\textcolor{colordef}{2}\) colonnes, avec \(\textcolor{colorprop}{3}\) cubes dans chaque colonne (2 groupes de 3).
    Son total est \(\textcolor{colordef}{2}\times \textcolor{colorprop}{3} = 6\) cubes.
  • Hugo voit \(\textcolor{colordef}{3}\) rangées, avec \(\textcolor{colorprop}{2}\) cubes dans chaque rangée (3 groupes de 2).
    Son total est \(\textcolor{colordef}{3}\times \textcolor{colorprop}{2} = 6\) cubes.
Ils obtiennent tous les deux la même réponse ! Cela montre que \(\textcolor{colordef}{2}\times \textcolor{colorprop}{3}=\textcolor{colordef}{3}\times \textcolor{colorprop}{2}\).


Proposition Propriété commutative
La multiplication est commutative : changer l’ordre des facteurs ne change pas le produit.