\( \definecolor{colordef}{RGB}{249,49,84} \definecolor{colorprop}{RGB}{18,102,241} \)
Des écologues souhaitent estimer le nombre total \(N\) de manchots dans une colonie (\(N>150\)). Ils capturent d’abord et marquent 150 manchots. Plus tard, ils effectuent \(n\) observations aléatoires avec remise et relèvent la proportion de manchots marqués observés.
\(n\) (Nombre d’observations) \(100\) \(1\,000\) \(10\,000\)
Proportion de manchots marqués \(0{,}312\) \(0{,}295\) \(0{,}3001\)
  1. Définir une variable aléatoire \(X_i\) associée à la \(i\)-ème observation (\(X_i=1\) si le manchot est marqué et \(0\) sinon). Quelle est la loi de \(X_i\) ? Exprimer son paramètre \(p\) en fonction de \(N\).
  2. Exprimer la proportion observée de manchots marqués après \(n\) observations sous la forme d’une moyenne d’échantillon \(\overline{X}_n\).
  3. En utilisant la LGN et le résultat pour \(n=10\,000\), proposer une valeur approchée de \(p\).
  4. En déduire une estimation de \(N\) en résolvant l’équation reliant \(p\) et \(N\).

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