\( \definecolor{colordef}{RGB}{249,49,84} \definecolor{colorprop}{RGB}{18,102,241} \)
Une urne contient \(N\) boules (\(N>50\)), dont \(50\) sont noires et les autres sont blanches. Ryem effectue \(n\) tirages avec remise et relève la proportion de boules blanches obtenue.
\(n\) (Nombre de tirages) 100 1 000 10 000
Proportion de boules blanches \(0{,}753\) \(0{,}748\) \(0{,}7499\)
  1. Définir une variable aléatoire \(X_i\) associée au \(i\)-ème tirage (valeur \(1\) si la boule est blanche et \(0\) si elle est noire). Quelle est la loi de \(X_i\) ? Exprimer son paramètre \(p\) en fonction de \(N\).
  2. Exprimer la proportion de boules blanches observée après \(n\) tirages sous la forme d’une moyenne d’échantillon \(\overline{X}_n\).
  3. En utilisant la LGN et le résultat pour \(n=10\,000\), proposer une valeur approchée de \(p\).
  4. En déduire une valeur approchée de \(N\) en résolvant l’équation reliant \(p\) et \(N\).

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