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tan⁻¹
Considérons une population où une certaine caractéristique apparaît avec une probabilité \(p\) (par exemple, un électeur soutenant un candidat).
Nous prenons un échantillon aléatoire de taille \(n\). Soient \(X_1, X_2, \dots, X_n\) des variables aléatoires indépendantes où \(X_i=1\) si la caractéristique est présente (succès) et \(X_i=0\) sinon (échec).
La
proportion d'échantillon
, notée \(\hat{P}\), est définie comme la somme des succès divisée par la taille de l'échantillon :$$ \hat{P} = \frac{X_1 + X_2 + \dots + X_n}{n} $$
Rappeler l'espérance \(E(X_i)\) et la variance \(V(X_i)\) pour une seule variable de Bernoulli.
En utilisant les propriétés de l'espérance, déterminer l'espérance de la proportion d'échantillon, \(E(\hat{P})\).
En utilisant les propriétés de la variance pour des variables indépendantes, déterminer la variance de la proportion d'échantillon, \(V(\hat{P})\).
En déduire la formule de l'écart-type (erreur type) de la proportion d'échantillon, \(\sigma(\hat{P})\).
Prends une photo de ton travail. Les commentaires de l'enseignant IA prennent environ 10 secondes.
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