Fonction logarithme népérien

Dans de nombreux domaines scientifiques, nous devons résoudre des équations où l'inconnue est en exposant, comme $e^x = a$. Pour ce faire, nous utilisons la fonction réciproque de l'exponentielle : le logarithme népérien. Alors que la fonction exponentielle croît extrêmement vite, le logarithme croît très lentement.

Définition et lien avec l'exponentielle

La fonction exponentielle est continue et strictement croissante de $\mathbb{R}$ vers $]0, +\infty[$. Par le théorème de la bijection, pour tout réel $x$ strictement positif, il existe un unique réel $y$ tel que $e^y = x$. Cette unique solution $y$ est appelée logarithme népérien de $x$ et est notée $\ln(x)$.

Définition Logarithme népérien

La fonction logarithme népérien, notée $\ln$, est la fonction définie sur $]0, +\infty[$ qui, à tout réel $x > 0$, associe l'unique solution de l'équation $e^y = x$ d'inconnue $y$. On note :$$ y = \ln(x) $$

Proposition Réciprocité

Pour tout $x > 0$ et tout réel $y$ :

$e^y = x \iff y = \ln(x)$
$e^{\ln(x)} = x$
$\ln(e^y) = y$

Valeurs particulières :
$\ln(1) = 0$ (car $e^0 = 1$) et $\ln(e) = 1$ (car $e^1 = e$)

Proposition Symétrie

Les courbes représentatives des fonctions exponentielle et logarithme népérien sont symétriques par rapport à la droite d'équation $y = x$.

Propriétés algébriques

Proposition Relation fonctionnelle

Pour tous réels $a$ et $b$ strictement positifs :$$\ln(a \times b) = \ln(a) + \ln(b)$$

Preuve Démonstration

Pour tous réels $a$ et $b$ strictement positifs :$$ \begin{aligned}e^{\ln(ab)} &= ab && \text{(par définition : } x = e^{\ln(x)}\text{)} \\ e^{\ln(ab)}&= e^{\ln(a)} \times e^{\ln(b)} && \text{(car } a = e^{\ln(a)} \text{ et } b = e^{\ln(b)}\text{)} \\ e^{\ln(ab)}&= e^{\ln(a) + \ln(b)} && \text{(propriété : } e^x \times e^y = e^{x+y}\text{)} \\ \ln(ab) &= \ln(a) + \ln(b) && \text{(propriété : } e^x =e^y \iff x=y\text{)} \\ \end{aligned} $$

Proposition Autres règles de calcul

Pour tous $a > 0$, $b > 0$ et tout entier relatif $n$ :

Inverse : $\ln\left(\frac{1}{b}\right) = -\ln(b)$
Quotient : $\ln\left(\frac{a}{b}\right) = \ln(a) - \ln(b)$
Puissance : $\ln(a^n) = n\ln(a)$
Racine carrée : $\ln(\sqrt{a}) = \frac{1}{2}\ln(a)$

Preuve Démonstration

Logarithme d'un inverse : Soit $b > 0$. $$ \begin{aligned} e^{\ln(1/b)} &= \frac{1}{b} && \text{(par définition : } x = e^{\ln(x)}\text{)} \\ e^{\ln(1/b)} &= \frac{1}{e^{\ln(b)}} && \text{(car } b = e^{\ln(b)}\text{)} \\ e^{\ln(1/b)} &= e^{-\ln(b)} && \text{(propriété : } 1/e^x = e^{-x}\text{)} \\ \ln(1/b) &= -\ln(b) && \text{(propriété : } e^x = e^y \iff x=y\text{)} \end{aligned} $$
Logarithme d'un quotient : Soient $a > 0$ et $b > 0$. $$ \begin{aligned} e^{\ln(a/b)} &= \frac{a}{b} && \text{(par définition : } x = e^{\ln(x)}\text{)} \\ e^{\ln(a/b)} &= \frac{e^{\ln(a)}}{e^{\ln(b)}} && \text{(car } a = e^{\ln(a)} \text{ et } b = e^{\ln(b)}\text{)} \\ e^{\ln(a/b)} &= e^{\ln(a) - \ln(b)} && \text{(propriété : } e^x / e^y = e^{x-y}\text{)} \\ \ln(a/b) &= \ln(a) - \ln(b) && \text{(propriété : } e^x = e^y \iff x=y\text{)} \end{aligned} $$
Logarithme d'une puissance : Soient $a > 0$ et $n \in \mathbb{Z}$. $$ \begin{aligned} e^{\ln(a^n)} &= a^n && \text{(par définition : } x = e^{\ln(x)}\text{)} \\ e^{\ln(a^n)} &= (e^{\ln(a)})^n && \text{(car } a = e^{\ln(a)}\text{)} \\ e^{\ln(a^n)} &= e^{n\ln(a)} && \text{(propriété : } (e^x)^n = e^{nx}\text{)} \\ \ln(a^n) &= n\ln(a) && \text{(propriété : } e^x = e^y \iff x=y\text{)} \end{aligned} $$
Logarithme d'une racine carrée : Soit $a > 0$. $$ \begin{aligned} e^{\ln(\sqrt{a})} &= \sqrt{a} = a^{1/2} && \text{(par définition et forme puissance)} \\ e^{\ln(\sqrt{a})} &= (e^{\ln(a)})^{1/2} && \text{(car } a = e^{\ln(a)}\text{)} \\ e^{\ln(\sqrt{a})} &= e^{\frac{1}{2}\ln(a)} && \text{(propriété : } (e^x)^n = e^{nx}\text{)} \\ \ln(\sqrt{a}) &= \frac{1}{2}\ln(a) && \text{(propriété : } e^x = e^y \iff x=y\text{)} \end{aligned} $$

Étude de la fonction

Proposition Dérivée et continuité

La fonction $\ln$ est dérivable et continue sur $]0, +\infty[$. Pour tout $x > 0$ :$$\ln'(x) = \frac{1}{x}$$Puisque $1/x > 0$ sur son domaine, le logarithme népérien est strictement croissant sur $]0, +\infty[$.

Preuve

On admet que la fonction $\ln$ est dérivable sur $]0, +\infty[$. On part de l'égalité :$$e^{\ln(x)} = x$$On dérive les deux membres par rapport à $x$ :

À droite : $(x)' = 1$.
À gauche, en utilisant la règle de dérivation des fonctions composées $(e^{u(x)})' = u'(x)e^{u(x)}$ : $$\left(e^{\ln(x)}\right)' = \ln'(x) \times e^{\ln(x)} = \ln'(x) \times x$$

En identifiant les deux résultats, on obtient :$$ \begin{aligned}\ln'(x) \times x &= 1 \\ \ln'(x) &= \frac{1}{x} && \text{(car } x > 0\text{)}\end{aligned} $$

Proposition Limites et asymptote

Le logarithme népérien admet les limites suivantes :

$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty$
$\displaystyle\lim_{x \to 0^+} \ln(x) = -\infty$

La droite d'équation $x = 0$ (axe des ordonnées) est asymptote verticale à la courbe de $\ln$.

Proposition Dérivée de $\ln(u(x))$

Soit $u$ une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle $I$. La fonction $f(x) = \ln(u(x))$ est dérivable sur $I$ et :$$\textcolor{colorprop}{(\ln(u(x)))' = \frac{u'(x)}{u(x)}}$$

Croissance comparée

Proposition Croissance comparée

Pour tout entier naturel $n \ge 1$ :

$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x} = 0$
$\displaystyle\lim_{x \to 0^+} x \ln(x) = 0$
$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x^n} = 0$
$\displaystyle\lim_{x \to 0^+} x^n \ln(x) = 0$

Preuve Démonstrations

Pour $x > 0$, $\dfrac{\ln(x)}{x} = \dfrac{\ln(x)}{e^{\ln(x)}}$. Posons $X = \ln(x)$. Quand $x \to +\infty$, $X \to +\infty$. Par le théorème de composition et la limite connue $\displaystyle\lim_{X \to +\infty} \dfrac{X}{e^X} = 0$, on en déduit que $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x} = 0$.
Pour $x > 0$, $x \ln(x) = e^{\ln(x)} \times \ln(x)$. Posons $X = \ln(x)$. Quand $x \to 0^+$, $X \to -\infty$. Par le théorème de composition et la limite connue $\displaystyle\lim_{X \to -\infty} X e^X = 0$, on en déduit que $\displaystyle\lim_{x \to 0^+} x \ln(x) = 0$.
Pour $n > 1$, on a $\dfrac{\ln(x)}{x^n} = \dfrac{1}{x^{n-1}} \times \dfrac{\ln(x)}{x}$. Comme $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{1}{x^{n-1}} = 0$ et $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x} = 0$, par produit de limites on obtient $0$.
Pour $n > 1$, on a $x^n \ln(x) = x^{n-1} \times x \ln(x)$. Comme $\displaystyle\lim_{x \to 0^+} x^{n-1} = 0$ et $\displaystyle\lim_{x \to 0^+} x \ln(x) = 0$, par produit de limites on obtient $0$.