Calcul différentiel
Règle de la dérivation en chaîne
De nombreuses fonctions complexes sont créées en composant des fonctions plus simples. Une fonction composée a la forme \(f(x) = v(u(x))\), où une fonction (la fonction "intérieure", \(u\)) est l'argument d'une autre (la fonction "extérieure", \(v\)). Par exemple, dans la fonction \(f(x) = (x^2+1)^3\), la fonction intérieure est \(u(x)=x^2+1\) et la fonction extérieure est \(v(x)=x^3\).
La règle de la dérivation en chaîne offre une méthode puissante pour dériver de telles fonctions en trouvant les dérivées des fonctions intérieure et extérieure séparément.
La règle de la dérivation en chaîne offre une méthode puissante pour dériver de telles fonctions en trouvant les dérivées des fonctions intérieure et extérieure séparément.
Proposition Règle de la dérivation en chaîne
Si \(f(x)=v(u(x))\) alors :$$ f'(x) = v'(u(x)) \cdot u'(x) $$En notation de Leibniz, si \(y=v(u)\), alors$$ \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy}{du} \cdot \dfrac{du}{dx} $$
Exemple
Déterminer la dérivée de \(f(x) = (x^2+1)^3\).
- Avec la notation \(f'(x)\) :
Soit la fonction extérieure \(v(x)=x^3\) et la fonction intérieure \(u(x)=x^2+1\). On a \(f(x)=v(u(x))\). Les dérivées sont \(v'(x)=3x^2\) et \(u'(x)=2x\).$$\begin{aligned}f'(x) &= v'(u(x)) \cdot u'(x) \\ &= 3(u(x))^2 \cdot (2x) \\ &= 3(x^2+1)^2 \cdot (2x)\\ &= 6x(x^2+1)^2\end{aligned}$$ - Avec la notation de Leibniz (\(y=f(x)\)) :
Pour \(y=u^3\) et \(u=x^2+1\), les dérivées sont \(\frac{dy}{du}=3u^2\) et \(\frac{du}{dx}=2x\).$$\begin{aligned}\dfrac{dy}{dx} &= \dfrac{dy}{du} \cdot \dfrac{du}{dx} \\ &= (3u^2) \cdot (2x) \\ &= 3(x^2+1)^2 \cdot (2x)\\ & = 6x(x^2+1)^2\end{aligned}$$
Proposition Dérivées usuelles
Soit \(u\) une fonction dérivable de dérivée \(u'\), \(a\) et \(b\) des réels et \(n\) un entier naturel.
| Fonction | Dérivée | Fonction | Dérivée |
| \(a u\) | \(a u'\) | \(\sqrt{u}\) | \(\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}\) |
| \(u^2\) | \(2u'u\) | \(\cos(u)\) | \(-u'\sin(u)\) |
| \(u^3\) | \(3u'u^2\) | \(\sin(u)\) | \(u'\cos(u)\) |
| \(u^n\) | \(n u' u^{n-1}\) | \(e^u\) | \(u' e^u\) |
| \(\dfrac{1}{u}\) | \(-\dfrac{u'}{u^2}\) | \(\dfrac{1}{u^n}\) | \(-\dfrac{nu'}{u^{n+1}}\) |
Dérivée seconde
Définition Dérivée seconde
La dérivée seconde de \(f\), notée \(f''\), est la dérivée de la première dérivée, \(f'\).$$ f''(x) = \dfrac{d}{dx}(f'(x)) \quad \text{ou en notation de Leibniz,} \quad \dfrac{d^2y}{dx^2}= \dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{dy}{dx} \right)$$
Exemple
Déterminer la dérivée seconde de \(f(x)=x^4 - 5x^2\).
D'abord, on détermine la dérivée première :$$ f'(x) = 4x^3 - 10x $$Maintenant, on dérive à nouveau pour déterminer la dérivée seconde :$$ f''(x) = \dfrac{d}{dx}(4x^3 - 10x) = 12x^2 - 10 $$
Concavité
Nous avons vu que la dérivée première, \(f'(x)\), donne la pente de la courbe \(y=f(x)\) pour n'importe quelle valeur de \(x\). La dérivée seconde, \(f''(x)\), nous renseigne sur le taux de variation de la pente. Elle nous donne donc des informations sur la forme ou la courbure de la courbe.
Définition Concavité
Une fonction \(f\) est
- concave vers le haut sur un intervalle si son graphe s'incurve vers le haut, comme une coupe
. - concave vers le bas sur un intervalle si son graphe s'incurve vers le bas, comme un chapeau
.
Proposition Dérivée seconde et tangentes
Soit \(f\) une fonction supposée deux fois dérivable sur un intervalle \(I\) de dérivée seconde \(f''\).Si \(f''\) est positive sur \(I\), alors la courbe représentative de \(f\) est située au-dessus de toutes ses tangentes sur \(I\).
Soit \(x_0\) un point quelconque de \(I\). L'équation de la tangente à la courbe de \(f\) en \(x_0\) est :$$ y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0) $$Soit \(\phi\) la fonction définie sur \(I\) par la différence entre la fonction et sa tangente :$$ \phi(x) = f(x) - (f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0)) $$\(\phi\) est dérivable sur \(I\) et sa dérivée est :$$ \phi'(x) = f'(x) - f'(x_0) $$Or \(f''\) est positive donc \(f'\) est croissante. D'où :
- si \(x \ge x_0\), alors \(f'(x) \ge f'(x_0)\) donc \(\phi'(x) \ge 0\).
- si \(x \le x_0\), alors \(f'(x) \le f'(x_0)\) donc \(\phi'(x) \le 0\).
Exemple
La courbe \(f(x)=x^2\) est toujours concave vers le haut. Les tangentes se trouvent en dessous de la courbe.
Considérons la courbe ci-dessous, qui est concave vers le bas.
Cela signifie que la fonction dérivée, \(f'\), est une fonction décroissante.
Si \(f'\) est décroissante, alors sa propre dérivée, \(f''(x)\), vérifie \(f''(x)\leq 0\) (là où elle est définie).
Cela signifie que la fonction dérivée, \(f'\), est une fonction décroissante.
Si \(f'\) est décroissante, alors sa propre dérivée, \(f''(x)\), vérifie \(f''(x)\leq 0\) (là où elle est définie).
Proposition Test de la dérivée seconde pour la concavité
Pour une fonction \(f\) deux fois dérivable sur un intervalle \(I\) :
- \(f''(x) \ge 0\) pour tout \(x \in I\), si et seulement si \(f\) est concave vers le haut sur \(I\).
- \(f''(x) \le 0\) pour tout \(x \in I\), si et seulement si \(f\) est concave vers le bas sur \(I\).
Exemple
Montrer que \(f(x)=\ln(x)\) est concave vers le bas sur son domaine.
Le domaine de définition de \(f(x)=\ln(x)\) est \(]0,+\infty[\).
Nous trouvons les dérivées première et seconde :$$ f'(x)=\frac 1 x \quad \text{et} \quad f''(x)=-\frac{1}{x^2}. $$Pour tout \(x\) dans le domaine, \(x^2 > 0\), donc \(-\dfrac{1}{x^2} < 0\).
Puisque \(f''(x) < 0\) pour tout \(x \in ]0,+\infty[\), la fonction est concave vers le bas sur tout son domaine de définition.
Nous trouvons les dérivées première et seconde :$$ f'(x)=\frac 1 x \quad \text{et} \quad f''(x)=-\frac{1}{x^2}. $$Pour tout \(x\) dans le domaine, \(x^2 > 0\), donc \(-\dfrac{1}{x^2} < 0\).
Puisque \(f''(x) < 0\) pour tout \(x \in ]0,+\infty[\), la fonction est concave vers le bas sur tout son domaine de définition.
Points d'inflexion
Un point d'inflexion marque un changement subtil mais important dans le comportement d'une fonction. Bien que la fonction puisse continuer à croître ou à décroître, le rythme auquel elle le fait passe d'une accélération à une décélération, ou inversement.
Considérons le nombre total de cas au début d'une épidémie. Initialement, le nombre de nouveaux cas par jour augmente, ce qui signifie que la courbe du nombre total de cas devient de plus en plus raide (concave vers le haut). À un certain moment, des mesures sont prises et le nombre de nouveaux cas par jour, bien que toujours positif, commence à diminuer. La courbe du nombre total de cas commence à s'aplatir (concave vers le bas). Le moment où cette transition se produit est le point d'inflexion. C'est le point où le taux de croissance est à son maximum.
Considérons le nombre total de cas au début d'une épidémie. Initialement, le nombre de nouveaux cas par jour augmente, ce qui signifie que la courbe du nombre total de cas devient de plus en plus raide (concave vers le haut). À un certain moment, des mesures sont prises et le nombre de nouveaux cas par jour, bien que toujours positif, commence à diminuer. La courbe du nombre total de cas commence à s'aplatir (concave vers le bas). Le moment où cette transition se produit est le point d'inflexion. C'est le point où le taux de croissance est à son maximum.
Définition Point d'inflexion
Un point d'inflexion est un point sur une courbe où la concavité change (de vers le haut à vers le bas, ou l'inverse). En ce point précis, la tangente traverse la courbe. 
\(\quad\) 
\(\quad\)
Puisque la concavité est déterminée par le signe de la dérivée seconde \(f''(x)\), un point d'inflexion doit se produire là où \(f''(x)\) change de signe. Pour que cela arrive, \(f''\) doit s'annuler en ce point.
Proposition Test de la dérivée seconde pour un point d'inflexion
Un point \((a, f(a))\) est un point d'inflexion si \(f''(a)=0\) et si le signe de \(f''(x)\) change en \(x=a\).
Exemple
Pour \(f(x)=x^3\), trouver les coordonnées du point d'inflexion.
- Calculer la dérivée seconde :
\(f'(x) = 3x^2\) et \(f''(x) = 6x\). - Trouver les points d'inflexion potentiels :$$\begin{aligned}f''(x) = 0 &\iff 6x = 0 \\ &\iff x = 0\end{aligned}$$
- Vérifier le changement de signe de \(f''(x)\) en \(x=0\) :
La fonction \(f''(x) = 6x\) s'annule en \(0\) et change de signe (négative pour \(x < 0\), positive pour \(x > 0\)). Il y a donc un point d'inflexion en \((0, f(0)) = (0,0)\).
