\( \definecolor{colordef}{RGB}{249,49,84} \definecolor{colorprop}{RGB}{18,102,241} \)
Cet exercice a pour but de déterminer par combien de zéros se termine le nombre \(1\,000!\). On rappelle : \(1\,000! = 1 \times 2 \times 3 \times \dots \times 1\,000\).
  1. Montrer qu'il existe \(p\) et \(q\) (\(p > 1\) et \(q > 1\)) et un entier \(N\) premier avec 10 tels que : $$1\,000! = 2^p \times 5^q \times N$$
    1. Combien y a-t-il de nombres inférieurs ou égaux à \(1\,000\) divisibles par 5 ? Divisibles par \(5^2\) ? Divisibles par \(5^3\) ? Divisibles par \(5^4\) ?
    2. En déduire alors que \(q = 249\).
  3. Montrer que \(p > q\) et que \(q\) est le nombre de zéros cherché.

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