CommeUnJeu — Mathématiques comme un jeu

Soit \(p\) un nombre premier impair.
1. Montrer qu'il existe un entier naturel \(k\), non nul, tel que \(2^k \equiv 1 \pmod{p}\).
2. Soit \(k\) un entier naturel non nul tel que \(2^k \equiv 1 \pmod{p}\) et soit \(n\) un entier naturel. Montrer que, si \(k\) divise \(n\), alors \(2^n \equiv 1 \pmod{p}\).
3. Soit \(b\) tel que \(2^b \equiv 1 \pmod{p}\), \(b\) étant le plus petit entier non nul vérifiant cette propriété. Montrer, en utilisant la division euclidienne de \(n\) par \(b\), que si \(2^n \equiv 1 \pmod{p}\), alors \(b\) divise \(n\).
Soit \(q\) un nombre premier impair et le nombre \(A = 2^q - 1\). On prend pour \(p\) un facteur premier de \(A\).
1. Justifier que : \(2^q \equiv 1 \pmod{p}\).
2. Montrer que \(p\) est impair.
3. Soit \(b\) tel que \(2^b \equiv 1 \pmod{p}\), \(b\) étant le plus petit entier non nul vérifiant cette propriété. Montrer, en utilisant 1., que \(b\) divise \(q\). En déduire que \(b = q\).
4. Montrer que \(q\) divise \((p - 1)\), puis montrer que \(p \equiv 1 \pmod{2q}\).
Soit \(A_1 = 2^{17} - 1\). Voici la liste des nombres premiers inférieurs à 400 et qui sont de la forme \(34m + 1\), avec \(m\) entier non nul : 103, 137, 239, 307. En déduire que \(A_1\) est premier.

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