Limites de suites

Limite infinie d'une suite

Définition Limite égale à $+\infty$

Dire qu'une suite $(u_n)$ a pour limite $+\infty$ signifie que tout intervalle du type $]A ; +\infty[$ (avec $A$ un réel) contient toutes les valeurs $u_n$ à partir d'un certain rang. On note : $$\displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty$$

Illustration graphique

Illustration graphique
Aussi grand que soit le nombre réel $A$, on peut trouver un entier naturel $n_0$ tel que pour tout $n \ge n_0, u_n > A$.
En termes imagés « aussi haute que l'on place la barrière horizontale $A$, les termes $u_n$ parviennent à passer définitivement au-dessus ».

Exemple

Les suites $(n)$, $(n^2)$, $(\sqrt{n})$ et $(e^n)$ ont pour limite $+\infty$.

Définition Limite égale à $-\infty$

Dire qu'une suite $(u_n)$ a pour limite $-\infty$ signifie que tout intervalle du type $]-\infty ; A[$ (avec $A$ un réel) contient toutes les valeurs $u_n$ à partir d'un certain rang. On note $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n = -\infty$.

Illustration graphique

Illustration graphique
Aussi négatif que soit le nombre réel $A$, on peut trouver un entier naturel $n_0$ tel que pour tout $n \ge n_0, u_n < A$.En termes imagés « aussi basse que l'on place la barrière horizontale $A$, les termes $u_n$ parviennent à passer définitivement en-dessous ».

Exemple

Les suites $(-2n)$, $(-n^2)$ et $(-5\sqrt{n})$ ont pour limite $-\infty$.

Limite finie et convergence

Définition Limite égale à un réel $\ell$

On dit qu'une suite $(u_n)$ converge vers un réel $\ell$ si tout intervalle ouvert contenant $\ell$ contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang. On écrit :$$\lim_{n\to +\infty} u_n = \ell.$$On dit alors que la suite $(u_n)$ converge vers $\ell$ (ou que $\ell$ est la limite de la suite $(u_n)$).

Définition Suite divergente

On distingue deux types de suites :

Les suites convergentes qui possèdent une limite finie ;
Les suites divergentes qui n'en possèdent pas (soit parce qu'elles tendent vers l'infini, soit parce qu'elles n'admettent aucune limite).

Exemple

La suite définie par $u_n = (-1)^n$ n'admet aucune limite. Elle alterne entre $-1$ et $1$ sans se rapprocher d'une valeur fixe. C'est donc une suite divergente.

Opérations sur les limites

Proposition Somme et produit

Soient $\ell$ et $\ell'$ deux nombres réels.

Somme

$\displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n$	$\ell$	$\ell$	$+\infty$	$-\infty$	$+\infty$	$-\infty$
$\displaystyle \lim_{n \to +\infty} v_n$	$\ell'$	$+\infty$	$+\infty$	$-\infty$	$-\infty$	$+\infty$
$\displaystyle \lim_{n \to +\infty} (u_n+v_n)$	$\ell+\ell'$	$+\infty$	$+\infty$	$-\infty$	FI	FI

Produit

$\displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n$	$\ell$	$\ell \neq 0$	$\pm\infty$	$0$
$\displaystyle \lim_{n \to +\infty} v_n$	$\ell'$	$\pm\infty$	$\pm\infty$	$\pm\infty$
$\displaystyle \lim_{n \to +\infty} (u_n \times v_n)$	$\ell\ell'$	$\pm\infty$ (règle des signes)	$\pm\infty$ (règle des signes)	FI

FI signifie Forme Indéterminée : on ne peut pas conclure immédiatement, il faut transformer l'expression.

Proposition Quotient de deux suites

Soit $(v_n)$ une suite telle que pour tout entier naturel $n$, $v_n \neq 0$.

Cas où $\lim v_n = \ell' \neq 0$ ou $\pm\infty$

$\displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n $	$\ell$	$\ell$	$+\infty$	$+\infty$	$-\infty$	$-\infty$	$\pm\infty$
$\displaystyle \lim_{n \to +\infty} v_n $	$\ell' \neq 0$	$\pm\infty$	$\ell'>0$	$\ell'<0$	$\ell'>0$	$\ell'<0$	$\pm\infty$
$\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \frac{u_n}{v_n} $	$\frac{\ell}{\ell'}$	$0$	$+\infty$	$-\infty$	$-\infty$	$+\infty$	FI

Cas où $\lim v_n = 0$

$\displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n $	$\ell>0$ ou $+\infty$	$\ell<0$ ou $-\infty$	$\ell>0$ ou $+\infty$	$\ell<0$ ou $-\infty$	$0$
$\displaystyle \lim_{n \to +\infty} v_n $	$0$ en restant $+$	$0$ en restant $+$	$0$ en restant $-$	$0$ en restant $-$	$0$
$\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \frac{u_n}{v_n} $	$+\infty$	$-\infty$	$-\infty$	$+\infty$	FI

Proposition Limites des suites arithmétiques

Soit $(u_n)$ une suite arithmétique de raison $r$.

Si $\boldsymbol{r > 0}$, alors $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty$.
Si $\boldsymbol{r < 0}$, alors $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n = -\infty$.

Exemple

Soit $u_n = 5 + 3n$. Comme $r=3 > 0$, $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty$.
Soit $v_n = 10 - 2n$. Comme $r=-2 < 0$, $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} v_n = -\infty$.

Limites et comparaison

Theorem Théorème de comparaison

Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites numériques.
Si (1) à partir d'un certain rang $n_0$, on a $u_n \ge v_n$, et si (2) $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} v_n = +\infty$,
alors :$$\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty$$

Remarque : De même, si $u_n \le v_n$ et $\lim v_n = -\infty$, alors $\lim u_n = -\infty$.

Theorem Théorème des gendarmes

Soient $(u_n)$, $(v_n)$ et $(w_n)$ trois suites numériques.
Si (1) à partir d'un certain rang, $\textcolor{colordef}{v_n} \leqslant \textcolor{olive}{u_n} \leqslant \textcolor{colorprop}{w_n}$, et si (2) $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} v_n = \lim_{n \to +\infty} w_n = \ell$,
alors la suite $(u_n)$ converge et sa limite est $\ell$.

Exemple

Calculer la limite de la suite $(u_n)$ définie pour $n \ge 1$ par $u_n = \dfrac{(-1)^n}{n}$.

Correction

Pour tout $n \ge 1$, on a $-1 \le (-1)^n \le 1$.
Comme $n > 0$, on peut diviser les membres de l'inégalité par $n$ :$$-\frac{1}{n} \le \frac{(-1)^n}{n} \le \frac{1}{n}$$On a :

$\displaystyle \lim_{n \to +\infty} -\frac{1}{n} = 0$
$\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n} = 0$

D'après le théorème des gendarmes, on en déduit :$$\lim_{n \to +\infty} \frac{(-1)^n}{n} = 0$$

Limites des suites géométriques

Proposition Limites des suites géométriques

Soit $q$ un nombre réel. La limite de la suite $(q^n)$ dépend de la valeur de $q$ :

Si $\boldsymbol{q > 1}$, alors $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} q^n = +\infty$.
Si $\boldsymbol{-1 < q < 1}$, alors $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} q^n = 0$.
Si $\boldsymbol{q = 1}$, alors la suite est constante et $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} q^n = 1$.
Si $\boldsymbol{q \le -1}$, alors la suite n'a pas de limite.

Exemple

$\displaystyle \lim_{n \to +\infty} 1 {,}05^n = +\infty$ car $1{,}05 > 1$.
$\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^n = 0$ car $-1 < 0.5 < 1$.
La suite $((-2)^n)$ n'admet pas de limite car $-2 \le -1$.

Analyse graphique des suites récurrentes

Lorsqu'une suite est définie par $u_{n+1} = f(u_n)$, on peut visualiser ses termes sans les calculer en utilisant la courbe de la fonction $f$ et la droite d'équation $y = x$ (la première bissectrice). Cela permet de conjecturer le comportement de la suite (monotonie et limite).

Méthode Représentation en « escalier » ou en « toile d'araignée »

Pour représenter les premiers termes de la suite $(u_n)$ sur l'axe des abscisses :

Tracer la courbe $C_f$ de la fonction $f$ et la droite $\Delta : y = x$.
Placer $u_0$ sur l'axe des abscisses.
Rejoindre verticalement la courbe $C_f$. L'ordonnée de ce point est $f(u_0) = u_1$.
Rejoindre horizontalement la droite $\Delta$. Cela permet de « reporter » la valeur $u_1$ sur l'axe des abscisses.
Répéter l'opération pour trouver $u_2, u_3, \dots$

Exemple

Soit la suite $(u_n)$ définie par $u_{n+1}=\sqrt{u_n+2}$ avec $u_0=0{,}5$.

Sur ce graphique, on observe que les termes se rapprochent de l'intersection entre la courbe et la droite d'équation $y=x$.

Proposition Émettre des conjectures

En observant la construction, on peut conjecturer :

Le comportement global : si les points se déplacent toujours dans le même sens, la suite semble monotone (croissante ou décroissante).
Le comportement asymptotique : si l'escalier ou la spirale se rapproche d'un point d'intersection entre $C_f$ et $\Delta$, la suite semble converger vers l'abscisse de ce point (le point fixe $\ell = f(\ell)$).

Suites arithmético-géométriques

Définition Définition

Une suite $(u_n)$ est dite arithmético-géométrique s'il existe deux réels $a$ et $b$ tels que pour tout $n \in \mathbb{N}$ :$$ u_{n+1} = a u_n + b $$

Remarques

Si $a = 1$, la suite est arithmétique ($u_{n+1} = u_n + b$).
Si $b = 0$, la suite est géométrique ($u_{n+1} = a u_n$).
Si $a = 0$, la suite est constante à partir du rang 1 ($u_{n+1} = b$).

Méthode Déterminer le terme général

Pour exprimer $u_n$ en fonction de $n$ :

Résoudre l'équation $\ell = a\ell + b$ pour trouver le point fixe $\ell$.
Poser la suite auxiliaire $v_n = u_n - \ell$.
Écrire le terme général de la suite géométrique : $v_n = v_0 \times a^n$.
En déduire l'expression de $u_n$ : $u_n = v_n + \ell = (u_0 - \ell) a^n + \ell$.

Exemple

Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0 = 3$ et pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_{n+1} = 3u_n - 4$. Déterminer l'expression de $u_n$ en fonction de $n$.

Correction

Recherche du point fixe $\ell$ :
On résout l'équation $x = 3x - 4$ : $$ \ell - 3\ell = -4 \implies -2\ell = -4 \implies \ell = 2 $$ Le point fixe est donc $\ell = 2$.
Étude de la suite auxiliaire $v_n$ :
On pose $v_n = u_n - 2$. Alors : $$ \begin{aligned} v_{n+1} &= u_{n+1} - 2 \\ &= (3u_n - 4) - 2 \\ &= 3u_n - 6 \\ &= 3(u_n - 2)\\ & = \mathbf{3v_n} \end{aligned} $$ La suite $(v_n)$ est donc une suite géométrique de raison $q = 3$.
Expression de $u_n$ en fonction de $n$ :
Le premier terme est $v_0 = u_0 - 2 = 3 - 2 = 1$.
On a donc $v_n = v_0 \times q^n = 1 \times 3^n = 3^n$.
Comme $v_n = u_n - 2$, on en déduit : $$ \mathbf{u_n = 3^n + 2} $$

Modélisation de situations réelles

De nombreux problèmes concrets font intervenir une valeur de départ (un coût fixe ou une population initiale) et une variation régulière (un ajout constant ou une augmentation en pourcentage). Choisir la bonne suite pour représenter ces faits s'appelle la modélisation.

Méthode Traduire un contexte en suite numérique

Pour construire un modèle mathématique à partir d'un texte, suivez ces étapes :

Identifier la variable : définir ce que représente $n$ (le temps, le nombre d'objets) et $u_n$ (le prix, la quantité totale).
Identifier l'état initial : déterminer la valeur de $u_0$.
Identifier le type de croissance :
- Si une quantité fixe est ajoutée à chaque étape : modèle arithmétique.
- Si la valeur est multipliée par un taux constant : modèle géométrique.
- Si les deux surviennent : modèle arithmético-géométrique.

Exemple

Pour prendre le train, Sofia achète un abonnement mensuel qui coûte $400$ euros. Avec cet abonnement, chaque billet de train qu'elle achète est au prix de $2$ euros.

Combien Sofia paiera-t-elle au total si elle achète 10 billets de train ?
On note $u_n$ le prix que paye Sofia par mois pour l'abonnement et $n$ billets de train.
1. Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
2. Sofia a payé $434$ euros. Combien de billets de train a-t-elle achetés ?

Correction

Calcul pour 10 billets : $400 + 10 \times 2 = \mathbf{420}$ euros.
Modèle général :
1. Pour $n$ billets, le prix total est le prix de l'abonnement plus 2 euros par billet : $$ \mathbf{u_n = 400 + 2n} $$
2. On résout l'équation $u_n= 434$ : $$ \begin{aligned} 400 + 2n &= 434 \\ 2n &= 434 - 400 \\ 2n &= 34 \\ n &= \frac{34}{2}\\ n&= \mathbf{17}\\ \end{aligned} $$ Sofia a acheté 17 billets.

\(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n\)	\(\ell\)	\(\ell\)	\(+\infty\)	\(-\infty\)	\(+\infty\)	\(-\infty\)
\(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} v_n\)	\(\ell'\)	\(+\infty\)	\(+\infty\)	\(-\infty\)	\(-\infty\)	\(+\infty\)
\(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} (u_n+v_n)\)	\(\ell+\ell'\)	\(+\infty\)	\(+\infty\)	\(-\infty\)	FI	FI

\(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n\)	\(\ell\)	\(\ell \neq 0\)	\(\pm\infty\)	\(0\)
\(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} v_n\)	\(\ell'\)	\(\pm\infty\)	\(\pm\infty\)	\(\pm\infty\)
\(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} (u_n \times v_n)\)	\(\ell\ell'\)	\(\pm\infty\) (règle des signes)	\(\pm\infty\) (règle des signes)	FI

\(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n \)	\(\ell\)	\(\ell\)	\(+\infty\)	\(+\infty\)	\(-\infty\)	\(-\infty\)	\(\pm\infty\)
\(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} v_n \)	\(\ell' \neq 0\)	\(\pm\infty\)	\(\ell'>0\)	\(\ell'<0\)	\(\ell'>0\)	\(\ell'<0\)	\(\pm\infty\)
\(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \frac{u_n}{v_n} \)	\(\frac{\ell}{\ell'}\)	\(0\)	\(+\infty\)	\(-\infty\)	\(-\infty\)	\(+\infty\)	FI

\(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n \)	\(\ell>0\) ou \(+\infty\)	\(\ell<0\) ou \(-\infty\)	\(\ell>0\) ou \(+\infty\)	\(\ell<0\) ou \(-\infty\)	\(0\)
\(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} v_n \)	\(0\) en restant \(+\)	\(0\) en restant \(+\)	\(0\) en restant \(-\)	\(0\) en restant \(-\)	\(0\)
\(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \frac{u_n}{v_n} \)	\(+\infty\)	\(-\infty\)	\(-\infty\)	\(+\infty\)	FI