\( \definecolor{colordef}{RGB}{249,49,84} \definecolor{colorprop}{RGB}{18,102,241} \)
On considère une ficelle de longueur \(20\) m. Camille commence par couper un morceau mesurant le quart de la longueur de la ficelle. Puis, à chaque étape suivante, elle coupe un morceau mesurant le quart de la longueur du morceau coupé à l’étape précédente.
  1. On note \(u_n\) la longueur coupée à la \(n\)-ième étape.
    1. Donner la valeur de \(u_1\) et de \(u_2\).
    2. Donner l’expression de \(u_n\) en fonction de \(n\).
    3. Déterminer la limite de la suite \((u_n)\).
  2. Camille décide de recoller tous les morceaux coupés. On note \(L_n\) la longueur totale obtenue en recollant les \(n\) premiers morceaux.
    1. Donner la valeur de \(L_1\) et de \(L_2\).
    2. Donner l’expression de \(L_n\) en fonction de \(n\).
    3. Déterminer la limite de la suite \((L_n)\).

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