\( \definecolor{colordef}{RGB}{249,49,84} \definecolor{colorprop}{RGB}{18,102,241} \)
Une association d'un village de \(3\,000\) habitants (nombre constant) étudie le nombre de ses bénévoles.
L'année de création de l'association, il y avait \(20\) bénévoles. Puis chaque année, on estime que \(25\pourcent\) d'entre eux quitteront l'association et \(5\pourcent\) des habitants qui n'étaient pas bénévoles l'année précédente le deviendront.
On note \(u_n\) le nombre d'habitants bénévoles et \(v_n\) le nombre d'habitants non-bénévoles, \(n\) années après la création de l'association.
  1. Donner la valeur de \(u_0\) et \(v_0\).
  2. Donner la valeur de \(u_n + v_n\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\).
  3. Justifier que pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(u_{n+1} = 0{,}75u_n + 0{,}05v_n\).
  4. En déduire que pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(u_{n+1} = 0{,}7u_n + 150\).
  5. Déterminer l'expression de \(u_n\) en fonction de \(n\).
  6. Déterminer la limite de la suite \((u_n)\), et interpréter avec le contexte.

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