Variables aléatoires discrètes

Une variable aléatoire, notée \(X\), est une fonction qui associe une valeur numérique à chaque issue \(\omega\) d’une expérience aléatoire. On note cette valeur \(X(\omega)\).Les valeurs possibles de \(X\) sont les nombres réels que \(X\) peut prendre.

Soit \(X\) le nombre de "pile" obtenu en lançant 2 pièces équilibrées : (pièce rouge) et (pièce bleue). Trouve \(X(\textcolor{colordef}{P},\textcolor{colorprop}{F})\).

Une variable aléatoire est discrète si l'ensemble de ses valeurs possibles est fini ou infini dénombrable. Cela signifie que l'on peut lister toutes les valeurs possibles.

Pour une variable aléatoire \(X\) :

• \((X = x)\) : l’ensemble des issues où \(X\) prend la valeur \(x\).
• \((X \leq x)\) : l’ensemble des issues où \(X\) est inférieur ou égal à \(x\).
• \((X \geq x)\) : l’ensemble des issues où \(X\) est supérieur ou égal à \(x\).

Soit \(X\) le nombre de "pile" obtenu en lançant 2 pièces : et . Liste les issues pour \((X = 0)\), \((X = 1)\), \((X = 2)\), \((X \leq 1)\), et \((X \geq 1)\).

La distribution de probabilité d’une variable aléatoire \(X\) donne la probabilité \(P(X = x_i)\) pour chaque valeur possible \(x_1,x_2,\dots,x_n\). Elle peut être représentée par un tableau ou une formule.

Pour une variable aléatoire \(X\) ayant des valeurs possibles \(x_1,x_2,\dots,x_n\), on a :

• \(0 \leq P(X=x_i) \leq 1\) pour tout \(i=1,\dots,n\),
• \(\displaystyle\sum_{i=1}^n P(X=x_i) =P(X=x_1)+P(X=x_2)+\dots+P(X=x_n)= 1 \).

Soit \(X\) le nombre de "pile" obtenu en lançant 2 pièces équilibrées : et .

1. Liste les valeurs possibles de \(X\).
2. Trouve la distribution de probabilité.
3. Construis le tableau de probabilité.
4. Dessine le graphique de la distribution.

Habituellement, définir une variable aléatoire commence par établir :

1. un univers, c’est-à-dire l’ensemble de toutes les issues possibles,
2. une probabilité associée à cet univers,
3. une fonction \(X\) qui attribue un nombre à chaque issue de l’univers.

C’est un travail assez long. Cependant, souvent, nous préférons définir directement une variable aléatoire \(X\) avec une distribution de probabilité donnée, en nous appuyant sur le contexte de la situation étudiée. Par exemple, imaginons que nous interrogions une classe de 30 élèves sur leurs frères et sœurs et obtenions ces résultats : 10 élèves ont 0 frères et sœurs, 12 en ont 1, 5 en ont 2, et 3 en ont 3. Nous pouvons alors définir la variable aléatoire \(X\) comme le nombre de frères et sœurs d’un élève choisi au hasard, avec cette distribution de probabilité :

\(x\)	0	1	2	3
\(P(X = x)\)	\(\frac{10}{30}\)	\(\frac{12}{30}\)	\(\frac{5}{30}\)	\(\frac{3}{30}\)

Le théorème ci-dessous montre qu’il est toujours possible de construire un univers, une probabilité et une fonction \(X\) pour obtenir une variable aléatoire ayant cette distribution de probabilité.

Soient des valeurs possibles \(x_1, x_2, \ldots, x_n\) et des probabilités \(p_1, p_2, \ldots, p_n\).
Si :

• \(0 \leq p_i \leq 1\) pour chaque \(i = 1, 2, \ldots, n\),
• \(\sum_{i=1}^n p_i = p_1 + p_2 + \cdots + p_n = 1\),

alors il existe une variable aléatoire \(X\) ayant la distribution de probabilité \(P(X = x_i) = p_i\) pour chaque \(i = 1, 2, \ldots, n\).

En pratique, on définit souvent une variable aléatoire \(X\) directement en précisant sa distribution de probabilité. L’essentiel est de s’assurer que cette distribution est valide, c’est-à-dire qu’elle respecte les conditions d’une distribution de probabilité : toutes les probabilités doivent être non négatives et leur somme doit égaler 1.

Nous interrogeons une classe de 30 élèves sur leurs frères et sœurs et obtenons ces résultats : 10 élèves ont 0 frères et sœurs, 12 en ont 1, 5 en ont 2, et 3 en ont 3. On définit une variable aléatoire \(X\) comme le nombre de frères et sœurs d’un élève choisi au hasard, avec cette distribution de probabilité :

\(x\)	0	1	2	3
\(P(X = x)\)	\(\frac{10}{30}\)	\(\frac{12}{30}\)	\(\frac{5}{30}\)	\(\frac{3}{30}\)

Détermine si cette distribution de probabilité est valide.

L'espérance d’une variable aléatoire \(X\) est la "moyenne des valeurs si tu répètes l’expérience de nombreuses fois". Elle est calculée en prenant toutes les valeurs possibles, en multipliant chacune par sa probabilité, et en les additionnant — c'est-à-dire une moyenne pondérée où les probabilités servent de poids.

Pour une variable aléatoire \(X\) avec les valeurs possibles \(x_1, x_2, \ldots, x_n\), l'espérance, \(E(X)\), aussi appelée la moyenne, est :$$\begin{aligned}E(X) &= \sum_{i=1}^{n} x_i P(X = x_i)\\ &= x_1 P(X = x_1) + x_2 P(X = x_2) + \cdots + x_n P(X = x_n)\\ \end{aligned}$$

Tu lances 2 pièces équilibrées, et \(X\) est le nombre de "pile". La distribution de probabilité est :

\(x\)	0	1	2
\(P(X = x)\)	\(\frac{1}{4}\)	\(\frac{1}{2}\)	\(\frac{1}{4}\)

Trouve l'espérance de \(X\).

Pour toute variable aléatoire \(X\) et toutes constantes \(a\) et \(b\), l'espérance d'une transformation linéaire de \(X\) est :$$ E(aX + b) = aE(X) + b $$Cette propriété découle de deux règles plus simples :

• \(E(aX) = aE(X)\) (L'espérance d'une variable mise à l'échelle est la mise à l'échelle de l'espérance).
• \(E(X+b) = E(X) + b\) (L'espérance d'une variable translatée est la translation de l'espérance).

La variance mesure à quel point les valeurs d’une variable aléatoire sont dispersées par rapport à sa valeur attendue. L’écart-type est la racine carrée de la variance, donnant une idée de la déviation typique dans les mêmes unités que \(X\).

La variance, notée \(V(X)\), est :$$\begin{aligned}V(X) &= \sum_{i=1}^{n} (x_i - E(X))^2 P(X = x_i)\\ &= \left(x_1-E(X)\right)^2 P(X = x_1) + \left(x_2-E(X)\right)^2 P(X = x_2) + \cdots + \left(x_n-E(X)\right)^2 P(X = x_n)\\ \end{aligned}$$L’écart-type, noté \(\sigma(X)\), est \(\sigma(X) = \sqrt{V(X)}\).

Tu lances 2 pièces équilibrées, et \(X\) est le nombre de "pile". Le tableau de probabilité est :

\(x\)	0	1	2
\(P(X = x)\)	\(\frac{1}{4}\)	\(\frac{1}{2}\)	\(\frac{1}{4}\)

Étant donné \(E(X) = 1\), trouve la variance.

Une formule plus pratique pour le calcul est :$$V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$$

Une variable aléatoire \(X\) suit une distribution uniforme si chaque valeur possible a la même probabilité :$$P(X = x) = \frac{1}{\text{Nombre de valeurs possibles}}, \quad \text{pour toute valeur possible }x$$

Soit \(X\) le résultat du lancer d’un dé équilibré : .

1. Liste les valeurs possibles de \(X\).
2. Construis le tableau de probabilité.
3. Dessine le graphique de la distribution.

Pour une variable aléatoire \(X\) qui suit une loi uniforme sur l'ensemble des entiers \(\{1, 2, \ldots, n\}\) :

• L'espérance est \(E(X) = \frac{n+1}{2}\).
• La variance est \(V(X) = \frac{n^2-1}{12}\).

Soit \(X\) la variable aléatoire correspondant au résultat du lancer d'un dé équilibré à six faces. Déterminer l'espérance et la variance de \(X\).

Une distribution de Bernoulli modélise une expérience avec deux résultats : succès (1) ou échec (0), comme lancer une pièce où "pile" est 1 et "face" est 0. La probabilité de succès est \(p\).

Une variable aléatoire \(X\) suit une distribution de Bernoulli si :

• Les valeurs possibles sont 0 et 1.
• \(P(X = 1) = p\) et \(P(X = 0) = 1 - p\).

On écrit \(X \sim B(p)\).

Un joueur de basketball a 80 \(\pourcent\) de chances de réussir un lancer franc. Soit \(X = 1\) si le tir est réussi, et \(X = 0\) s'il est manqué.

1. Est-ce que \(X\) est une variable de Bernoulli ?
2. Trouve la probabilité de succès.

Pour une variable aléatoire de Bernoulli \(X\) avec une probabilité de succès \(p\), les propriétés suivantes sont vraies :

• L'espérance est \(E(X) = p\),
• La variance est \(V(X) = p(1 - p)\),
• L’écart-type est \(\sigma(X) = \sqrt{p(1 - p)}\).

La répétition de \(n\) épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes est un schéma de Bernoulli de taille \(n\).

On lance deux fois successivement une pièce de monnaie non équilibrée dont la probabilité de succès (tomber sur pile) est \(0{,}4\).
Soit \(X\) la variable aléatoire qui compte le nombre de pile. Calculer \(P(X=1)\).

Dans un schéma de Bernoulli de taille \(n\), le coefficient binomial \(\binom{n}{k}\), que l'on lit « \(k\) parmi \(n\) », représente le nombre de chemins (ou de façons) d'obtenir exactement \(k\) succès.

Choisir 0 succès ou choisir \(n\) succès ne peut se faire que d'une seule façon. Donc$$ \binom{n}{0} = 1 \quad \quad \binom{n}{n} = 1 $$

Choisir \(k\) succès revient au même que de choisir \(n-k\) échecs. Par conséquent :$$ \binom{n}{k} = \binom{n}{n-k} $$

Pour tous entiers \(1 \leq k \leq n-1\) :$$ \binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k} $$

Cette relation permet de construire les coefficients binomiaux de proche en proche grâce au triangle de Pascal.

Pour trouver \(\binom{n}{k}\), on additionne les deux coefficients situés juste au-dessus dans la ligne précédente.

\(n \backslash k\)	0	1	2	3	4	5
0	1
1	1	1
2	1	2	1
3	1	3	3	1
4	1	4	6	4	1
5	1	5	10	10	5	1

En utilisant le Triangle de Pascal, trouve \(\binom{5}{2}\).

Soit \(X\) une variable aléatoire binomiale avec \(n\) essais indépendants et une probabilité de succès \(p\). La distribution de probabilité de \(X\) est :Ceci est appelé la distribution binomiale, et on écrit \(X \sim B(n, p)\).

Un joueur de basketball a 80 \(\pourcent\) de chances de réussir un lancer franc et effectue 5 tirs. Soit \(X\) le nombre de tirs réussis.

1. Est-ce que \(X\) est une variable aléatoire binomiale ?
2. Trouve la probabilité de réussir 4 tirs.

Pour \(X \sim B(n, p)\) :

• \(E(X) = n p\) (espérance),
• \(V(X) = n p (1 - p)\) (variance),
• \(\sigma(X) = \sqrt{n p (1 - p)}\) (écart-type).

Un joueur de basket-ball a 80\(\pourcent\) de chances de réussir un lancer franc et effectue 5 tirs. Trouve la moyenne et l’écart-type du nombre de tirs réussis.

Pour calculer des probabilités de la forme \(P(X \leq k)\), on utilise la fonction de probabilité cumulée (ou fonction de répartition) de la calculatrice.

• Sur TI : Utiliser \texttt{binomfrép(n, p, k)}.
• Sur Casio : Utiliser \texttt{BinomialCD(k, n, p)}.
• Sur NumWorks : Application \texttt{Probabilités}, choisir \texttt{Binomiale}.

Pour les autres inégalités, on utilise les règles logiques suivantes :

• \(P(X < k) = P(X \leq k-1)\)
• \(P(X \geq k) = 1 - P(X \leq k-1)\)
• \(P(X > k) = 1 - P(X \leq k)\)
• \(P(a \leq X \leq b) = P(X \leq b) - P(X \leq a-1)\)

On considère une variable aléatoire \(X\) qui suit la loi binomiale de paramètres \(n = 100\) et \(p = 0,78\). Calculer les probabilités suivantes. Arrondir les résultats à trois décimales. $$P(X < 75), P(X > 79), P(X \geq 74), P(73 < X \leq 81)$$

Pour chercher un intervalle \(I=[a ; b]\) tel que \(P(X \in I) \geq 1-\alpha\) :

1. On cherche le plus petit entier \(a\) tel que \(P(X \leq a) > \frac{\alpha}{2}\).
2. On cherche le plus petit entier \(b\) tel que \(P(X \leq b) \geq 1 - \frac{\alpha}{2}\).

Soit \(X \sim \mathcal{B}(50 ; 0,4)\). Chercher l'intervalle \([a ; b]\) tel que \(P(a \leq X \leq b) \geq 0,95\).

On considère une épreuve de Bernoulli pour laquelle la probabilité d'un succès est \(p\) et on répète cette épreuve de manière indépendante jusqu’à l’obtention d'un succès. La variable aléatoire \(X\) donnant le nombre d’essais nécessaires pour obtenir ce succès suit la loi géométrique de paramètre \(p\), notée \(\mathcal{G}(p)\).

Soit \(X \sim \mathcal{G}(p)\) et \(k \in \mathbb{N}^*\). On a :

• \(P(X = k) = (1-p)^{k-1}p\)
• \(P(X \leq k) = 1 - (1-p)^k\)
• \(P(X > k) = (1-p)^k\)
• \(E(X) = \frac{1}{p}\)

On lance un dé équilibré à quatre faces numérotées de 1 à 4 jusqu'à l'obtention d'un 2. Soit \(D\) la variable aléatoire donnant le nombre d'essais nécessaires.

1. Identifie la loi de \(D\).
2. Trouve la probabilité que le premier 2 apparaisse au 5ème essai.
3. Trouve l'espérance du nombre de lancers pour obtenir un 2.

Le diagramme en barres d'une loi géométrique correspond à une décroissance exponentielle. La hauteur de la première barre (en \(k=1\)) est égale à \(p\).

Le graphique de la distribution de probabilité de \(X \sim \mathcal{G}(0{,}25)\) est :

Pour \(X\) suivant une loi géométrique, la probabilité de succès pour les essais futurs ne dépend pas du nombre d'échecs passés :$$ P_{X>s}(X > s+t) = P(X > t) \quad \text{pour tous } s, t \in \mathbb{N} $$

Dans l'exemple du dé (\(p=0,25\)), calcule la probabilité qu'il faille plus de dix essais pour obtenir un 2 sachant qu'après sept essais, on n'en a pas encore obtenu.