Calcul différentiel
Dérivée seconde
Définition Dérivée seconde
La dérivée seconde de \(f\), notée \(f''\), est la dérivée de la première dérivée, \(f'\).$$ f''(x) = \dfrac{d}{dx}(f'(x)) \quad \text{ou en notation de Leibniz,} \quad \dfrac{d^2y}{dx^2}= \dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{dy}{dx} \right)$$
Exemple
Déterminer la dérivée seconde de \(f(x)=x^4 - 5x^2\).
D'abord, on détermine la dérivée première :$$ f'(x) = 4x^3 - 10x $$Maintenant, on dérive à nouveau pour déterminer la dérivée seconde :$$ f''(x) = \dfrac{d}{dx}(4x^3 - 10x) = 12x^2 - 10 $$
Concavité
Nous avons vu que la dérivée première, \(f'(x)\), donne la pente de la courbe \(y=f(x)\) pour n'importe quelle valeur de \(x\). La dérivée seconde, \(f''(x)\), nous renseigne sur le taux de variation de la pente. Elle nous donne donc des informations sur la forme ou la courbure de la courbe.
Définition Concavité
Une fonction \(f\) est
- concave vers le haut sur un intervalle si son graphe s'incurve vers le haut, comme une coupe
. - concave vers le bas sur un intervalle si son graphe s'incurve vers le bas, comme un chapeau
.
Considérons la courbe ci-dessous, qui est concave vers le bas.
Cela signifie que la fonction dérivée, \(f'\), est une fonction décroissante.
Si \(f'\) est décroissante, alors sa propre dérivée, \(f''(x)\), vérifie \(f''(x)\leq 0\) (là où elle est définie).
Cela signifie que la fonction dérivée, \(f'\), est une fonction décroissante.
Si \(f'\) est décroissante, alors sa propre dérivée, \(f''(x)\), vérifie \(f''(x)\leq 0\) (là où elle est définie).
Proposition Test de la dérivée seconde pour la concavité
Pour une fonction \(f\) deux fois dérivable sur un intervalle \(I\) :
- \(f''(x) \ge 0\) pour tout \(x \in I\), si et seulement si \(f\) est concave vers le haut sur \(I\).
- \(f''(x) \le 0\) pour tout \(x \in I\), si et seulement si \(f\) est concave vers le bas sur \(I\).
Exemple
Montrer que \(f(x)=\ln(x)\) est concave vers le bas sur son domaine.
Le domaine de définition de \(f(x)=\ln(x)\) est \(]0,+\infty[\).
Nous trouvons les dérivées première et seconde :$$ f'(x)=\frac 1 x \quad \text{et} \quad f''(x)=-\frac{1}{x^2}. $$Pour tout \(x\) dans le domaine, \(x^2 > 0\), donc \(-\dfrac{1}{x^2} < 0\).
Puisque \(f''(x) < 0\) pour tout \(x \in ]0,+\infty[\), la fonction est concave vers le bas sur tout son domaine de définition.
Nous trouvons les dérivées première et seconde :$$ f'(x)=\frac 1 x \quad \text{et} \quad f''(x)=-\frac{1}{x^2}. $$Pour tout \(x\) dans le domaine, \(x^2 > 0\), donc \(-\dfrac{1}{x^2} < 0\).
Puisque \(f''(x) < 0\) pour tout \(x \in ]0,+\infty[\), la fonction est concave vers le bas sur tout son domaine de définition.
Points d'inflexion
Un point d'inflexion marque un changement subtil mais important dans le comportement d'une fonction. Bien que la fonction puisse continuer à croître ou à décroître, le rythme auquel elle le fait passe d'une accélération à une décélération, ou inversement.
Définition Point d'inflexion
Un point d'inflexion est un point sur une courbe où la concavité change (de vers le haut à vers le bas, ou l'inverse). En ce point précis, la tangente traverse la courbe. 
\(\quad\) 
\(\quad\)
Puisque la concavité est déterminée par le signe de la dérivée seconde \(f''(x)\), un point d'inflexion doit se produire là où \(f''(x)\) change de signe. Pour que cela arrive, \(f''\) doit s'annuler en ce point.
Proposition Test de la dérivée seconde pour un point d'inflexion
Un point \((a, f(a))\) est un point d'inflexion si \(f''(a)=0\) et si le signe de \(f''(x)\) change en \(x=a\).
Exemple
Pour \(f(x)=x^3\), trouver les coordonnées du point d'inflexion.
- Calculer la dérivée seconde :
\(f'(x) = 3x^2\) et \(f''(x) = 6x\). - Trouver les points d'inflexion potentiels :$$\begin{aligned}f''(x) = 0 &\iff 6x = 0 \\ &\iff x = 0\end{aligned}$$
- Vérifier le changement de signe de \(f''(x)\) en \(x=0\) :
La fonction \(f''(x) = 6x\) s'annule en \(0\) et change de signe (négative pour \(x < 0\), positive pour \(x > 0\)). Il y a donc un point d'inflexion en \((0, f(0)) = (0,0)\).
