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Variables aléatoires continues

Définitions

Densité de probabilité

Une densité de probabilité décrit la chance qu’une variable aléatoire continue prenne des valeurs dans un intervalle spécifique. Contrairement aux variables aléatoires discrètes, où les probabilités sont assignées à des résultats individuels, les variables continues utilisent la densité de probabilité pour calculer les probabilités sur des intervalles par intégration.
Définition Variable aléatoire continue
Une variable aléatoire est continue si l'ensemble de ses valeurs possibles est un intervalle entier de nombres réels. Une variable aléatoire continue peut prendre n'importe quelle valeur à l'intérieur de son intervalle, ce qui signifie qu'il y a une infinité de possibilités.
Définition Densité de probabilité
Une fonction \(f\) est une densité de probabilité sur l’intervalle \([a, b]\) si :
  • \(f(x) \geq 0\) pour tout \(x \in [a, b]\) (non négative partout),
  • \(\int_{a}^{b} f(x) \, dx = 1\) (l’aire totale sous la courbe est égale à 1).
Exemple
La variable aléatoire \(X\) prend des valeurs sur \([0, 2]\) avec la densité \(f(x) = \frac{x}{2}\).
Vérifie que \(f\) est une fonction de densité de probabilité sur \([0, 2]\).

  • \(f(x) = \frac{x}{2} \geq 0\) pour tout \(x \in [0,2]\), car \(x \geq 0\).
  • Calcule l’aire totale : $$ \begin{aligned}[t] \int_{0}^{2} f(x) \, dx &= \int_{0}^{2} \frac{x}{2} \, dx \\ &= \left[ \frac{x^2}{4} \right]_{0}^{2} \\ &= \frac{2^2}{4} - 0 = 1 \end{aligned} $$ Puisque les deux conditions sont satisfaites, \(f(x) = \frac{x}{2}\) est une densité de probabilité valide sur \([0, 2]\).

Définition Variable aléatoire à densité
Une variable aléatoire \(X\) prenant des valeurs sur \([a, b]\) a une densité de probabilité \(f\), si la probabilité que \(X\) soit entre \(c\) et \(d\) (\(c, d \in [a, b]\)) est :$$P(c \leq X \leq d) = \int_{c}^{d} f(x) \, dx$$Cela représente l’aire sous la courbe \(y = f(x)\) de \(x = c\) à \(x = d\).
On dit que \(X\) est une variable aléatoire à densité.
Remarque
  • Puisque \(f(x) \geq 0\), \(P(c \leq X \leq d) \geq 0\).
  • Puisque \(\int_{a}^{b} f(x) \, dx = 1\), \(P(a \leq X \leq b) = 1\).
Exemple
La variable aléatoire \(X\) avec des valeurs sur \([0, 2]\) a une densité \(f(x) = \frac{x}{2}\). Calcule \(P(1 \leq X \leq 2)\).

$$\begin{aligned}[t]P(1 \leq X \leq 2) &= \int_{1}^{2} \frac{x}{2} \, dx \\ &= \left[ \frac{x^2}{4} \right]_{1}^{2} \\ &= \frac{2^2}{4} - \frac{1^2}{4} \\ &= 1 - \frac{1}{4}\\ &= \frac{3}{4}\end{aligned}$$

Espérance

L’espérance (ou valeur attendue) d’une variable aléatoire continue est la valeur « moyenne » qu’elle prendrait si l’expérience était répétée infiniment. Elle représente le centre de la distribution et est calculée comme une moyenne pondérée, où la fdp \(f(x)\) fournit la pondération :$$\begin{aligned}[t]E(X)&=\sum_{x\in[a,b]}x P(x \leqslant X < x+\mathrm d x)\\ &=\sum_{x\in[a,b]}x \dfrac{P(x \leqslant X < x+\mathrm d x)}{\mathrm d x}\mathrm d x\\ &=\int_{a}^b xf(x)\;\mathrm d x\\ \end{aligned}$$
Définition Espérance
Pour une variable aléatoire continue \(X\) avec densité \(f\) sur \([a, b]\), l'espérance est$$E(X) = \int_{a}^{b} x f(x) \, dx.$$
Exemple
La variable aléatoire \(X\) à valeurs dans \([0, 3]\) a une densité \(f(x) = \frac{x^2}{9}\).
Calcule \(E(X)\).

Calcule \(E(X)\) : $$ \begin{aligned}[t] E(X) &= \int_{0}^{3} x \cdot \frac{x^2}{9} \, dx \\ &= \int_{0}^{3} \frac{x^3}{9} \, dx \\ &= \left[ \frac{x^4}{36} \right]_{0}^{3} \\ &= \frac{3^4}{36} - 0 \\ &= 2,25 \\ \end{aligned} $$

Exemple
La variable aléatoire \(X\) à valeurs dans \([0,2]\) a une densité \(f(x) = \frac{x}{2}\).
Calcule \(E(X)\).

Calcule \(E(X)\) :$$\begin{aligned}[t]E(X) &= \int_{0}^{2} x \cdot \frac{x}{2} \, dx \\ &= \int_{0}^{2} \frac{x^2}{2} \, dx \\ &= \left[ \frac{x^3}{6} \right]_{0}^{2} \\ &= \frac{2^3}{6} - 0 \\ &= \frac{8}{6} \\ &= \frac{4}{3} \\ \end{aligned}$$

Variance

La variance d’une variable aléatoire continue mesure l’étendue de ses valeurs autour de la valeur attendue si l’expérience était répétée infiniment. Elle quantifie la dispersion de la distribution et peut être calculée comme pour une variable aléatoire discrète:$$\begin{aligned}[t]V(X) &= \sum_{x \in [a, b]} (x - E(X))^2 P(x \leq X < x + dx) \\ &= \sum_{x \in [a, b]} (x - E(X))^2 \frac{P(x \leq X < x + dx)}{dx} \cdot dx \\ &= \int_{a}^{b} (x - E(X))^2 f(x) \, dx\end{aligned}$$
Définition Variance et écart type
Pour une variable aléatoire continue \(X\) avec densité \(f\) sur \([a, b]\) la variance est$$V(X) = \int_{a}^{b} (x - E(X))^2 f(x) \, dx.$$L'écart type est$$\sigma = \sqrt{V(X)}.$$
Proposition Formule de calcul pour la variance
Une formule plus pratique pour le calcul de la variance est :$$V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$$
Exemple
La variable aléatoire \(X\) à valeurs dans \([0,2]\) a une densité \(f(x) = \frac{x}{2}\).
Calcule \(V(X)\).

  • Calcule \(E(X)\) : $$ \begin{aligned}[t] E(X) &= \int_{0}^{2} x \cdot \frac{x}{2} \, dx \\ &= \int_{0}^{2} \frac{x^2}{2} \, dx \\ &= \left[ \frac{x^3}{6} \right]_{0}^{2} \\ &= \frac{2^3}{6} - 0 \\ &= \frac{8}{6} \\ &= \frac{4}{3}\\ \end{aligned} $$
  • Calcule \(\int_{0}^{2} x^2 \cdot f(x) \, dx\) : $$ \begin{aligned}[t] \int_{0}^{2} x^2 \cdot f(x) \, dx &=\int_{0}^{2} x^2 \cdot \frac{x}{2} \, dx\\ &= \int_{0}^{2} \frac{x^3}{2} \, dx \\ &= \left[ \frac{x^4}{8} \right]_{0}^{2} \\ &= \frac{2^4}{8} - 0 \\ &= \frac{16}{8} \\ &= 2 \end{aligned} $$
  • Calcule \(V(X)\) en utilisant la formule alternative : $$ \begin{aligned}[t] V(X) &= \int_{0}^{2} x^2 \cdot f(x) \, dx - [E(X)]^2 \\ &= 2 - \left(\frac{4}{3}\right)^2 \\ &= 2 - \frac{16}{9} \\ &= \frac{18}{9} - \frac{16}{9} \\ &= \frac{2}{9} \end{aligned} $$

Distributions classiques

Distribution uniforme continue

La distribution uniforme continue s’applique à des événements qui sont également probables sur un intervalle, comme dans l’exemple de la toupie. La densité est constante sur cet intervalle.
Définition Distribution uniforme continue
Une variable aléatoire continue \(X\) suit une distribution uniforme continue sur \([a, b]\) si sa densité est :$$f(x) = \frac{1}{b - a} \quad \text{pour} \quad a \leq x \leq b$$
Proposition Propriétés
Soit \( X \) une variable aléatoire continue suivant une distribution uniforme continue sur l’intervalle \([a, b]\) :
  • pour tout \( c, d \in [a, b] : P(c \leq X \leq d) = \frac{d - c}{b - a}\),
  • \(E(X) = \frac{a + b}{2}\).
  • \(V(X) = \frac{(b-a)^2}{12}\).

  • Probabilité : $$ \begin{aligned}[t] P(c \leq X \leq d) &= \int_{c}^{d} \frac{1}{b - a} \, dx \\ &= \left[ \frac{x}{b - a} \right]_{c}^{d} \\ &= \frac{d - c}{b - a} \end{aligned} $$
  • Espérance : $$ \begin{aligned}[t] E(X) &= \int_{a}^{b} x \cdot \frac{1}{b - a} \, dx \\ &= \left[ \frac{x^2}{2(b - a)} \right]_{a}^{b} \\ &= \frac{b^2 - a^2}{2(b - a)}\\ &= \frac{(b - a)(b + a)}{2(b - a)}\\ &= \frac{a + b}{2} \end{aligned} $$
  • Variance : On utilise la formule \(V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2\). On calcule d'abord \(E(X^2)\). $$ \begin{aligned}[t] E(X^2) &= \int_{a}^{b} x^2 \cdot \frac{1}{b-a} \, dx \\ &= \frac{1}{b-a} \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{a}^{b} \\ &= \frac{b^3-a^3}{3(b-a)} = \frac{a^2+ab+b^2}{3} \end{aligned} $$ Maintenant on peut calculer la variance : $$ \begin{aligned}[t] V(X) &= \frac{a^2+ab+b^2}{3} - \left(\frac{a+b}{2}\right)^2 \\ &= \frac{4(a^2+ab+b^2) - 3(a+b)^2}{12} \\ &= \frac{4a^2+4ab+4b^2 - 3(a^2+2ab+b^2)}{12} \\ &= \frac{4a^2+4ab+4b^2 - 3a^2-6ab-3b^2}{12} \\ &= \frac{a^2-2ab+b^2}{12} = \frac{(b-a)^2}{12} \end{aligned} $$

Loi exponentielle

Proposition Densité de probabilité
Soit \(\lambda\) un nombre réel strictement positif.
La fonction \(f\) définie sur \([0, +\infty[\) par \(f(x) = \lambda e^{-\lambda x}\) est une densité de probabilité sur \([0, +\infty[\).
Définition Loi exponentielle de paramètre \(\lambda\)
On appelle loi exponentielle de paramètre \(\lambda > 0\), notée \(\mathcal{E}(\lambda)\), la loi de probabilité dont la densité est la fonction \(f\) définie sur \([0, +\infty[\) par \(f(x) = \lambda e^{-\lambda x}\).
Remarque
\(f(0) = \lambda \text{e}^{-\lambda \times 0} = \lambda \text{e}^0 = \lambda\). Donc l'ordonnée à l'origine de la courbe représentative de \(f\) est égale à \(\lambda\).
Proposition Calcul de probabilités
Pour tous nombres positifs \(a\), \(c\) et \(d\) :
  • \(P(X \leq a) = 1 - e^{-\lambda a}\)
  • \(P(X \geq a) = e^{-\lambda a}\)
  • \(P(c \leq X \leq d) = e^{-\lambda c} - e^{-\lambda d}\)

  • \(\displaystyle P(X \leq a) = \int_{0}^{a} \lambda e^{-\lambda x} dx = \left[ -e^{-\lambda x} \right]_{0}^{a} = -e^{-\lambda a} - (-e^{-\lambda \times 0}) = -e^{-\lambda a} + e^0 = 1 - e^{-\lambda a}\).
  • \(P(X \geq a) = 1 - P(X < a) = 1 - P(X \leq a) = 1 - (1 - e^{-\lambda a}) = e^{-\lambda a}\).
  • \(\displaystyle P(c \leq X \leq d) = \int_{c}^{d} \lambda e^{-\lambda x} dx = \left[ -e^{-\lambda x} \right]_{c}^{d} = -e^{-\lambda d} - (-e^{-\lambda c}) = e^{-\lambda c} - e^{-\lambda d}\).

Proposition Espérance
L'espérance d'une variable aléatoire \(X\) qui suit une loi exponentielle de paramètre \(\lambda\) est :$$E(X) = \frac{1}{\lambda}$$
Proposition Absence de mémoire
Soit \(X\) une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre \(\lambda > 0\). Pour tous nombres strictement positifs \(x\) et \(h\) :$$P_{X>x}(X > x+h) = P(X > h)$$ Cela signifie que la probabilité de durer \(h\) unités de temps supplémentaires ne dépend pas du temps \(x\) déjà écoulé.
Exemple
Soit un appareil dont la durée de vie en années est une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre \(\lambda = 0,1\).
On a alors \(P_{X>3}(X > 5) = P_{X>3}(X > 3 + 2) = P(X > 2)\).
Donc si l'appareil a déjà fonctionné pendant plus de 3 ans, la probabilité qu'il fonctionne encore 2 ans de plus (soit plus de 5 ans en tout) est la même que la probabilité (non conditionnelle) de fonctionner pendant plus de 2 ans.