Primitives et équations différentielles

Équations différentielles

Définition Équation différentielle

Une équation différentielle est une égalité liant une fonction inconnue $y$ de la variable $x$, ses dérivées successives $y', y'', \dots$ et éventuellement d'autres fonctions (constantes, $f, \dots$).
On appelle solution d'une équation différentielle toute fonction dérivable vérifiant l'égalité.

Résoudre une équation différentielle, c'est trouver toutes les fonctions solutions vérifiant l'égalité.

Exemple

La fonction $x \mapsto e^{-x}$ est solution de l'équation $y'' - y = 0$ car, pour $y(x) = e^{-x}$, on a $y'(x) = -e^{-x}$ et $y''(x) = e^{-x}$.
Donc $y''(x) - y(x) = e^{-x} - e^{-x} = 0$.

Définition Comprendre les notations

Il est crucial de comprendre que dans une équation différentielle, $y$ est une fonction, et non un nombre fixe. Selon le contexte (Mathématiques, Physique ou Ingénierie/Sciences de l’ingénieur), on utilise différentes écritures pour désigner la même dérivée :

Notation de Lagrange : Utilise le symbole « prime » ($y'$). C'est l'écriture la plus courte utilisée en Maths.
Notation de Leibniz : Utilise le quotient différentiel ($\dfrac{dy}{dt}$ ou $\dfrac{dy}{dx}$). Elle montre explicitement par rapport à quelle variable on dérive (souvent le temps $t$ ou la position $x$).
Notation fonctionnelle : Fait apparaître explicitement $y(t)$ ou $y(x)$ pour rappeler que la valeur dépend de la variable.

Exemple

Les trois équations suivantes représentent exactement la même relation où $y$ est une fonction du temps $t$ :

Style simplifié : $2y' + 3y = t$
Style fonctionnel : $2y'(t) + 3y(t) = t$
Style différentiel (Leibniz) : $2\dfrac{dy}{dt} + 3y(t) = t$

Primitives

Définition Primitive

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$.
On dit que $F$ est une primitive de $f$ sur $I$ si $F$ est dérivable sur $I$ et pour tout $x \in I$ :$$ \textcolor{colordef}{F'(x) = f(x)} $$Autrement dit, une primitive de la fonction $f$ sur $I$ est une solution de l'équation différentielle $y' = f$.

Exemple

Soit $f(x) = 2$ sur $\mathbb{R}$. La fonction $F(x) = 2x$ est une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$ car $F'(x) = 2 = f(x)$.

Proposition Ensemble des primitives d'une même fonction

Si $F$ est une primitive de $f$ sur un intervalle $I$, alors toute autre primitive $G$ de $f$ sur $I$ est définie par :$$ \textcolor{colorprop}{G(x) = F(x) + C} \quad \text{où } C \in \mathbb{R} \text{ est une constante.} $$

Proposition Condition initiale

Soit $f$ une fonction continue sur $I$, et soient $x_0 \in I$ et $y_0 \in \mathbb{R}$.
Alors il existe une unique primitive $F$ de $f$ sur $I$ telle que $F(x_0) = y_0$.

Exemple Application physique : la chute d'une pomme

Considérons une pomme tombant d'un arbre. Soit $v(t)$ sa vitesse à l'instant $t$. D'après la seconde loi de Newton, la dérivée de la vitesse est l'accélération de la pesanteur (constante) :$$ v'(t) = -g \quad (\text{où } g \approx 9,8 \text{ m/s}^2) $$La fonction vitesse $v$ est une primitive de la fonction constante $f(t) = -g$.

Déterminer la forme générale de la vitesse $v(t)$.
Si la pomme est lâchée l'arbre sans vitesse initiale à $t=0$, on a $v(0) = 0$. Trouver l'unique fonction vitesse.

Correction

Les primitives de $-g$ sont de la forme $v(t) = -gt + C$.
D'après la condition initiale : $v(0) = -g(0) + C = 0 \implies C = 0$.
L'unique solution est $v(t) = -gt$.

Formulaire de primitives

Le calcul de primitives est essentiellement le processus inverse de la dérivation. Pour trouver une primitive, nous cherchons une fonction dont la dérivée correspond à celle qui nous est donnée. Comme les dérivées, les primitives suivent des règles spécifiques pour les sommes, les produits par une constante et certaines compositions.

Proposition Opérations sur les primitives

Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues sur un intervalle $I$.
Si $F$ et $G$ sont des primitives respectives de $f$ et $g$, alors :

Somme : $F + G$ est une primitive de $f + g$.
Multiple scalaire : $\alpha F$ est une primitive de $\alpha f$ (où $\alpha \in \mathbb{R}$).

Proposition Primitives de référence

Soit $C \in \mathbb{R}$ une constante.

Fonction $f(x)$	Primitive $F(x)$	Intervalle $I$
$k$ (constante)	$kx + C$	$\mathbb{R}$
$x$	$\frac{1}{2}x^2 + C$	$\mathbb{R}$
$x^n$ ($n\neq -1$)	$\frac{1}{n+1}x^{n+1} + C$	$\mathbb{R}$ pour $n\geq 0$, $(-\infty,0)$ ou $(0, +\infty)$ pour $n\leq -2$
	$\frac{1}{x}$	$\ln(x) + C$
$]0, +\infty[$	$\frac{1}{x^2}$	$-\frac{1}{x} + C$
$]-\infty, 0[$ ou $]0, +\infty[$	$\frac{1}{\sqrt{x}}$	$2\sqrt{x} + C$
$]0, +\infty[$	$\sin(x)$	$-\cos(x) + C$
$\mathbb{R}$	$\cos(x)$	$\sin(x) + C$
$\mathbb{R}$	$e^x$	$e^x + C$

Proposition Primitives et composition

Soit $u$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$.

Fonction $f$	Primitive $F$	Condition sur $u$
$u' \cdot u^n$ ($n \neq -1$)	$\frac{1}{n+1}u^{n+1} + C$	$u(x) \neq 0$ si $n < 0$
$\frac{u'}{u}$	$\ln(u) + C$	$u(x) > 0$
$\frac{u'}{u^2}$	$-\frac{1}{u} + C$	$u(x) \neq 0$
$\frac{u'}{\sqrt{u}}$	$2\sqrt{u} + C$	$u(x) > 0$
$u' e^u$	$e^u + C$	--
$u' \sin(u)$	$-\cos(u) + C$	--
$u' \cos(u)$	$\sin(u) + C$	--

Résolution d'équations différentielles

Proposition Ensemble des solutions de $y' \equal ay$

Soit $a$ un réel non nul.
Les équations différentielles de la forme $y' = ay$ ont pour solutions les fonctions définies sur $\mathbb{R}$ par : $$ \textcolor{colorprop}{f(x) = K e^{ax}} \quad \text{avec } K \in \mathbb{R}. $$

Exemple

Résoudre l'équation différentielle $y' = -2y$ avec la condition initiale $y(0) = 4$.

Correction

Solutions générales : L'équation est de la forme $y' = ay$ avec $a = -2$. Les solutions générales sont les fonctions : $$ y(x) = K e^{-2x} \quad \text{avec } K \in \mathbb{R} $$
Solution particulière : On utilise la condition initiale $y(0) = 4$ : $$ K e^{-2(0)} = 4 \implies K \times 1 = 4 \implies K = 4 $$ L'unique solution est $y(x) = 4e^{-2x}$.

Fonction \(f(x)\)	Primitive \(F(x)\)	Intervalle \(I\)
\(k\) (constante)	\(kx + C\)	\(\mathbb{R}\)
\(x\)	\(\frac{1}{2}x^2 + C\)	\(\mathbb{R}\)
\(x^n\) (\(n\neq -1\))	\(\frac{1}{n+1}x^{n+1} + C\)	\(\mathbb{R}\) pour \(n\geq 0\), \((-\infty,0)\) ou \((0, +\infty)\) pour \(n\leq -2\)
	\(\frac{1}{x}\)	\(\ln(x) + C\)
\(]0, +\infty[\)	\(\frac{1}{x^2}\)	\(-\frac{1}{x} + C\)
\(]-\infty, 0[\) ou \(]0, +\infty[\)	\(\frac{1}{\sqrt{x}}\)	\(2\sqrt{x} + C\)
\(]0, +\infty[\)	\(\sin(x)\)	\(-\cos(x) + C\)
\(\mathbb{R}\)	\(\cos(x)\)	\(\sin(x) + C\)
\(\mathbb{R}\)	\(e^x\)	\(e^x + C\)

Fonction \(f\)	Primitive \(F\)	Condition sur \(u\)
\(u' \cdot u^n\) (\(n \neq -1\))	\(\frac{1}{n+1}u^{n+1} + C\)	\(u(x) \neq 0\) si \(n < 0\)
\(\frac{u'}{u}\)	\(\ln(u) + C\)	\(u(x) > 0\)
\(\frac{u'}{u^2}\)	\(-\frac{1}{u} + C\)	\(u(x) \neq 0\)
\(\frac{u'}{\sqrt{u}}\)	\(2\sqrt{u} + C\)	\(u(x) > 0\)
\(u' e^u\)	\(e^u + C\)	--
\(u' \sin(u)\)	\(-\cos(u) + C\)	--
\(u' \cos(u)\)	\(\sin(u) + C\)	--