Suites numériques

Pour une fête, on aligne des tables carrées. Une table seule reçoit $4$ personnes, une par côté. Quand on colle des tables, les côtés collés ne reçoivent plus personne.

$\;,\quad$

$\;,\; \dots$

Compter les places sur chaque figure et compléter le tableau.

Nombre de tables 1 2 3 4

Nombre de places $4$ $?$ $?$ $?$
Décrire la règle en mots : on commence avec combien de places, et on en ajoute combien par table supplémentaire ?
Combien de personnes peuvent s'asseoir sur une rangée de $10$ tables ?
Et sur une rangée de $100$ tables ? Compter une à une devient déraisonnable : trouver une formule qui donne le nombre de places pour n'importe quel nombre $n$ de tables.

Chaque table supplémentaire supprime deux côtés collés et apporte deux nouvelles places de front : le compte grandit de $2$ à chaque fois. $4 \xrightarrow{\;+2\;} 6 \xrightarrow{\;+2\;} 8 \xrightarrow{\;+2\;} 10$
La règle est : on commence avec $4$ places et on ajoute $2$ places par table supplémentaire.
De $4$ tables à $10$ tables, il y a $6$ tables de plus, donc $6 \times 2 = 12$ places de plus : les $10$ places des $4$ tables plus les $12$ nouvelles donnent $10 + 12 = 22$ places.
On regarde la structure d'une rangée de $n$ tables : chaque table offre $2$ places (une au-dessus, une au-dessous), et les $2$ bouts de la rangée offrent chacun une place de plus. Le nombre de places est donc $$\mathbf{2 \times n + 2}.$$ Contrôle avec le tableau : pour $n = 4$, $2 \times 4 + 2 = 8 + 2 = 10$ (on fait d'abord la multiplication). $\checkmark$
Pour $100$ tables, la formule répond en une ligne : $2 \times 100 + 2 = 202$ places.

Méthode — Déterminer la formule de la figure $n$

Compléter le tableau pour les premières figures et dire la règle en mots : on commence avec ..., on ajoute ... à chaque fois.
Regarder la structure : où les nouveaux bâtonnets ou points se placent-ils dans le dessin ? Qu'apporte chaque nouvelle figure ?
Écrire le compte de la figure $n$ : exprimer ce que l'on voit avec $n$ — tant par case plus le départ, ou tant de branches de $n$ moins le centre partagé. Dans une formule, on écrit $2n$ pour $2 \times n$, et $3n + 4$ pour $3 \times n + 4$.
Contrôler : la formule doit redonner tous les nombres du tableau.

La formule part du numéro $n$ de la figure, pas du nombre précédent : pour $1$ ; $4$ ; $7$ ; … la règle d'un terme au suivant est « $+\,3$ », et la formule à partir du numéro est $3 \times n - 2$.

Exemple

Ce motif de points en « T » grandit à chaque figure.

$\quad,\quad$

$\quad,\; \dots$ Trouver une formule donnant le nombre de points de la figure $n$, la contrôler, puis l'utiliser pour la figure $10$.

Tableau et règle : les nombres de points sont $1\,;\,4\,;\,7\,;\,\dots$ — on commence avec $1$ point et on ajoute $3$ points à chaque fois.

Numéro de la figure 1 2 3

Nombre de points 1 4 7
Structure : le « T » a $3$ branches (gauche, droite, bas) de $n$ points chacune, et elles partagent le point central — compté $3$ fois au lieu de $1$.
Formule : $3$ branches de $n$ points, moins le centre compté deux fois de trop : $$\mathbf{3 \times n - 2}.$$
Contrôle : $n = 2$ donne $3 \times 2 - 2 = 4$ $\checkmark$ ; $n = 3$ donne $3 \times 3 - 2 = 7$ $\checkmark$.
Pour la figure $10$ : $3 \times 10 - 2 = 28$ points.

Compétences à pratiquer

Utiliser la structure d'un motif

I.2 Notation et représentation d'une suite

En mathématiques, une suite est plus qu'un simple motif : c'est une liste ordonnée de nombres où chaque nombre a une position spécifique (sa place dans la liste). Pour travailler efficacement avec les suites, on utilise une notation spéciale pour distinguer la position d'un terme de sa valeur.

Définition — Suite numérique

Une suite numérique est une liste ordonnée de nombres, appelés termes. On utilise la notation $u_n$ pour décrire un terme de la suite.

L'indice $n$ indique la position du terme (commençant souvent à $n=0$). L'indice $n$ prend généralement des valeurs entières : $0,1,2,\dots$
$u_n$ représente la valeur du terme à cette position spécifique.

Ainsi, $u_0$ est la valeur du terme à la position $0$, $u_1$ est la valeur à la position $1$, et ainsi de suite.

Indice ($n$)	0	1	2	$\dots$
Terme ($u_n$)	$u_0$	$u_1$	$u_2$	$\dots$

Exemple

Étant donné la suite définie par le tableau ci-dessous, déterminer la valeur du terme $u_4$.

$n$	0	1	2	3	4	5	$\dots$
$u_n$	3	5	7	9	11	13	$\dots$

Pour obtenir $u_4$, on regarde dans le tableau la colonne où l'indice est $n=4$. La valeur dans la ligne en dessous est $11$.
Donc $u_4 = 11$.
Cette suite commence à $u_0$, donc $u_4$ est son cinquième terme. Une suite peut aussi commencer à $u_1$ : son premier terme est alors $u_1$, et $u_4$ est son quatrième terme.

Deux notations pour le même terme

Une suite est une fonction dont la variable est un entier naturel : à chaque indice $n$, elle associe le terme de rang $n$. C'est pourquoi le terme s'écrit aussi $u(n)$, avec la notation habituelle des fonctions. Par exemple, si $u(n)$ est la population d'une ville $n$ années après une année de référence, alors $u(0)$ est la population l'année de référence, $u(1)$ la population un an plus tard, $u(2)$ deux ans plus tard, et $u(n + 1) - u(n)$ est l'augmentation pendant l'année qui suit l'année $n$. Les deux notations désignent le même objet : $u(n)$ et $u_n$ sont le même terme, et $u(n + 1) = u_{n+1}$. La notation fonctionnelle $u(n)$ garde sous les yeux qu'une suite est une fonction et se lit naturellement quand la suite modélise une grandeur année après année ; la notation indicielle $u_n$ est plus légère et c'est celle qu'emploie le reste de ce chapitre. Un tableur affiche les termes dans une colonne, un par ligne ; l'application « suites » d'une calculatrice et une fonction u(n) écrite en Python emploient la notation fonctionnelle.

Représentation graphique d'une suite

Une suite associe à chaque entier $n$ (à partir de son rang initial) un réel $u_n$ : c'est une fonction définie sur $\mathbb{N}$ (ou sur les entiers $n \ge n_0$). Comme une fonction, une suite peut se représenter, de deux façons.

Sur une droite graduée : on place les termes $u_0$, $u_1$, $u_2$, …\ comme des points d'une droite graduée.
Dans un repère : on représente la suite par les points de coordonnées $(n\,;\,u_n)$, c'est-à-dire le point d'abscisse $0$ et d'ordonnée $u_0$, le point d'abscisse $1$ et d'ordonnée $u_1$, et ainsi de suite.

Comme $n$ ne prend que des valeurs entières, la représentation graphique d'une suite est un ensemble de points isolés, pas une courbe : on ne relie pas les points.

Exemple

Soit $(u_n)$ la suite définie pour tout $n \in \mathbb{N}$ par $u_n = 2n - 1$.
Représenter les cinq premiers termes de $(u_n)$ sur une droite graduée, puis dans un repère.

Les cinq premiers termes sont $u_0 = -1$, $u_1 = 1$, $u_2 = 3$, $u_3 = 5$ et $u_4 = 7$.

Dans un repère, on place les points $(0\,;\,-1)$, $(1\,;\,1)$, $(2\,;\,3)$, $(3\,;\,5)$ et $(4\,;\,7)$, sans les relier.

Compétences à pratiquer

Lire les termes d'une suite dans un tableau

I.3 La formule explicite

Définition — Formule explicite

Une formule explicite définit directement le $n$-ième terme d'une suite, $u_n$, en fonction de sa position $n$.$$u_n = f(n)$$

Remarque

L'avantage principal est que cela permet de calculer n'importe quel terme de la suite directement, sans avoir d'abord à calculer tous les termes précédents un par un.

Exemple

On considère la suite définie par la formule explicite : $$u_n = 3n + 2$$ Calculer $u_{100}$.

Pour déterminer la valeur de $u_{100}$, on remplace $n$ par 100 dans la formule explicite : $$\begin{aligned}[t] u_{100} &= 3(100) + 2 \\ &= 300 + 2 \\ &= \boldsymbol{302} \end{aligned}$$ On n'a pas eu besoin de connaître les termes précédents de la suite.

Compétences à pratiquer

Calculer des termes avec une formule explicite

I.4 La définition par récurrence

On considère une suite dont le premier terme est $2$ et où chaque terme est obtenu en ajoutant $3$ au terme précédent. Les termes sont :

Ici, la suite est indexée à partir de $n=0$ : $u_0 = 2$, $u_1 = 5$, $u_2 = 8$, $u_3 = 11$, etc. On peut décrire la relation entre les termes en utilisant une notation formelle :

$5 = 2\textcolor{colordef}{+3} \longrightarrow u_1 = u_0\textcolor{colordef}{+3} \longrightarrow u_{0+1} = u_0+3$
$8 = 5\textcolor{colordef}{+3} \longrightarrow u_2 = u_1\textcolor{colordef}{+3} \longrightarrow u_{1+1} = u_1+3$
$11 = 8\textcolor{colordef}{+3} \longrightarrow u_3 = u_2\textcolor{colordef}{+3} \longrightarrow u_{2+1} = u_2+3$

Ce motif montre que n'importe quel terme $u_{n+1}$ peut être trouvé en ajoutant $3$ au terme précédent $u_n$. On peut généraliser cette relation en une règle (valable pour tout entier $n \ge 0$) : $$u_{n+1} = u_n + 3$$

Définition — Définition par récurrence

Une définition par récurrence d'une suite comprend deux parties :

Le premier terme (ou terme initial), noté par exemple $u_0$ ou $u_1$. C'est le point de départ.
La règle de récurrence (ou relation de récurrence), qui est une formule exprimant le terme suivant, $u_{n+1}$, en fonction du terme courant, $u_n$, pour tout entier $n$ concerné (par exemple $n \ge 0$ ou $n \ge 1$).

Une fois ces deux éléments connus, on peut calculer tous les termes de la suite pas à pas.

Exemple

Une suite est définie par récurrence par :

$u_1 = 5$ (Le premier terme est $5$).
$u_{n+1} = u_n + 3$ (La règle est d'ajouter $3$ au terme précédent, pour tout entier $n \ge 1$).

Déterminer les cinq premiers termes de cette suite.

On construit la suite étape par étape en utilisant la définition par récurrence.

$1^{\text{er}}$ terme : Le terme de départ est donné : $\boldsymbol{u_1 = 5}$.
$2^{\text{e}}$ terme : On utilise la règle avec $n=1$. $\boldsymbol{u_2} = u_1 + 3 = 5 + 3 = \textbf{8}$.
$3^{\text{e}}$ terme : On utilise la règle avec $n=2$. $\boldsymbol{u_3} = u_2 + 3 = 8 + 3 = \textbf{11}$.
$4^{\text{e}}$ terme : On utilise la règle avec $n=3$. $\boldsymbol{u_4} = u_3 + 3 = 11 + 3 = \textbf{14}$.
$5^{\text{e}}$ terme : On utilise la règle avec $n=4$. $\boldsymbol{u_5} = u_4 + 3 = 14 + 3 = \textbf{17}$.

$$5 \textcolor{olive}{\xrightarrow{\;+3\;}} 8 \textcolor{olive}{\xrightarrow{\;+3\;}} 11 \textcolor{olive}{\xrightarrow{\;+3\;}} 14 \textcolor{olive}{\xrightarrow{\,+3\,}} 17$$ Les cinq premiers termes sont : $5$ ; $8$ ; $11$ ; $14$ ; $17$.

Compétences à pratiquer

Calculer des termes avec une relation de récurrence
Modéliser des situations réelles par des suites

I.5 Suites et algorithmes

Définition — Une suite calculée par une boucle

Une suite est donnée par ses premières valeurs et une règle qui produit chaque valeur à partir de celles qui la précèdent — le plus souvent de celle qui la précède immédiatement, parfois des deux. Un algorithme en calcule le terme de rang n avec une variable, ou deux quand la règle emploie deux termes précédents, et n tours ; les valeurs précédentes sont oubliées à mesure qu'elles servent, et les tenir toutes n'est nécessaire que si la réponse les demande toutes. Le nombre de tours est ici ce que demande l'énoncé, et non la longueur d'une liste.

Exemple

La règle de Syracuse divise par deux un nombre pair et transforme un nombre impair en son triple augmenté de un. La valeur de départ est un entier strictement positif. Exécuter à la main l'algorithme ci-dessous pour u égal à $6$ et donner le nombre de tours qu'il affiche.

u ← 6
n ← 0
Tant que u ≠ 1
    Si reste de u par 2 = 0 alors
        u ← quotient de u par 2
    Sinon
        u ← 3 × u + 1
    Fin Si
    n ← n + 1
Fin Tant que
Afficher n

Instruction	$u$	$n$	$u \neq 1$	Affichage
départ	$6$	$0$
tour 1	$3$	$1$	vrai
tour 2	$10$	$2$	vrai
tour 3	$5$	$3$	vrai
tour 4	$16$	$4$	vrai
tour 5	$8$	$5$	vrai
tour 6	$4$	$6$	vrai
tour 7	$2$	$7$	vrai
tour 8	$1$	$8$	vrai
fin	$1$	$8$	faux
Afficher $n$	$1$	$8$		$8$

Il affiche 8 : les valeurs sont $6$, $3$, $10$, $5$, $16$, $8$, $4$, $2$, $1$, soit huit tours. Cette boucle est un algorithme dont personne ne sait justifier la terminaison : aucune quantité n'est connue pour décroître à chaque tour, puisqu'une valeur impaire croît. Pour une valeur de départ donnée, la tracer tranche la question : la trace ci-dessus prouve qu'elle s'arrête pour $6$, et des machines l'ont vérifié bien au-delà de ce qu'on saurait écrire ici. Ce qui est ouvert est l'énoncé général — qu'elle s'arrête pour tout entier strictement positif — qu'aucune démonstration n'a établi. Et le domaine compte : partie de $0$, la boucle tournerait indéfiniment, puisque $0$ est pair et que le diviser par deux redonne $0$. On peut tracer cet algorithme et compter ses tours sur une entrée, et on doit dire que sa terminaison en général est une question ouverte, ce qui vaut d'être su.

Exemple

Qu'affiche le programme suivant ?

a = 0
b = 1
for k in range(8):
    c = a + b
    a = b
    b = c
print(a)

Les couples sont $(0 ; 1)$, $(1 ; 1)$, $(1 ; 2)$, $(2 ; 3)$, $(3 ; 5)$, $(5 ; 8)$, $(8 ; 13)$, $(13 ; 21)$, $(21 ; 34)$ : après huit tours a retient $21$. Deux variables suffisent parce que chaque valeur n'a besoin que des deux précédentes, et le troisième nom c est là pour la même raison que dans l'échange de deux variables : sans lui, a serait écrasée avant que b ne puisse la lire. L'invariant — ce qui reste vrai à chaque tour (a et b sont deux termes consécutifs) — se lit sur le nombre de tours déjà faits : après r tours, a et b retiennent les termes de rangs r et r + 1, la suite étant numérotée depuis le rang $0$ où elle vaut $0$. Avant le premier tour cela fait $(0 ; 1)$, ce qui est juste, et après le huitième $(21 ; 34)$. Compter avec la variable de boucle k, qui part de $0$, décalerait les deux rangs de un — le genre de décalage qu'un invariant vérifié avant le premier tour attrape aussitôt.

Exemple

Une suite part de $1$ et double à chaque étape. L'algorithme ci-dessous donne le premier rang auquel elle dépasse $1000$. L'exécuter à la main et donner ce qu'il affiche.

u ← 1
n ← 0
Tant que u ≤ 1000
    u ← 2 × u
    n ← n + 1
Fin Tant que
Afficher n

Instruction	$u$	$n$	$u \leqslant 1000$	Affichage
départ	$1$	$0$
tour 1	$2$	$1$	vrai
tour 2	$4$	$2$	vrai
tour 3	$8$	$3$	vrai
tour 4	$16$	$4$	vrai
tour 5	$32$	$5$	vrai
tour 6	$64$	$6$	vrai
tour 7	$128$	$7$	vrai
tour 8	$256$	$8$	vrai
tour 9	$512$	$9$	vrai
tour 10	$1024$	$10$	vrai
fin	$1024$	$10$	faux
Afficher $n$	$1024$	$10$		$10$

Il affiche 10, et le terme de rang $10$ vaut $1024$. C'est l'autre usage des tours d'une boucle : ils ne sont pas ici un coût, ils sont la réponse, et le compteur n n'est là que pour la porter hors de la boucle. La boucle se termine pour la raison que toute boucle doit nommer : le variant est le nombre entier $1000 - u$, qui reste au moins $0$ tant que la boucle tourne et décroît strictement à chaque tour, puisque u au moins double depuis une valeur au moins égale à $1$ ; un entier ne peut pas décroître indéfiniment en restant au moins $0$. Un seuil lu ainsi est exact et non approché : l'algorithme donne le premier rang qui dépasse $1000$, parce qu'il s'arrête au premier tour dont la condition échoue.

Exemple

La factorielle d'un entier naturel $n$, notée $n!$, est le produit $1 \times 2 \times \cdots \times n$ des entiers de $1$ à $n$ ; par convention, $0! = 1$. Exécuter à la main l'algorithme ci-dessous pour n égal à $5$ et donner ce qu'il affiche.

f ← 1
Pour k allant de 1 à n
    f ← f × k
Fin Pour
Afficher f

Instruction	$k$	$f$	Affichage
départ		$1$
tour 1	$1$	$1$
tour 2	$2$	$2$
tour 3	$3$	$6$
tour 4	$4$	$24$
tour 5	$5$	$120$
Afficher $f$	$5$	$120$	$120$

Il affiche 120 : $5! = 120$. C'est l'accumulateur d'un produit, et il part de $1$, le produit d'aucun facteur — partir de $0$ rendrait tout produit nul. Pour n égal à $0$, la boucle ne fait aucun tour et l'algorithme affiche $1$, qui est exactement $0!$. À la fin de chaque tour, $f$ contient $k!$, et la factorielle croît très vite : $10!$ vaut déjà $3\,628\,800$.

Compétences à pratiquer

Prédire
Calculer des termes et des seuils avec une boucle

II Suites arithmétiques et géométriques

II.1 Suites arithmétiques : la croissance linéaire

Une suite arithmétique est un type fondamental de suite qui suit une règle de récurrence. Elle est définie par un terme de départ et une variation constante entre deux termes consécutifs.

On considère une suite arithmétique avec un premier terme $u_1 = 5$ et une raison arithmétique $r = 3$.
On peut écrire les premiers termes en ajoutant 3 de manière répétée :

$u_1 = 5$
$u_2 = 5 + 3$
$u_3 = 5 + 3 + 3$
$u_4 = 5 + 3 + 3 + 3$

On réécrit cela en utilisant la multiplication pour voir le motif :

$u_1 = 5 + \textcolor{colordef}{0} \times 3$
$u_2 = 5 + \textcolor{colordef}{1} \times 3$
$u_3 = 5 + \textcolor{colordef}{2} \times 3$
$u_4 = 5 + \textcolor{colordef}{3} \times 3$

Le motif est : pour trouver le $n$-ième terme ($u_n$), on part de $u_1$ et on ajoute la raison $r$ exactement $\textcolor{colordef}{(n-1)}$ fois. Cela donne la formule explicite :$$u_n = u_1 + (n-1)r$$ On peut trouver $u_{10}$ directement :$$u_{10} = u_1 + (10-1)r = 5 + (9 \times 3) = 5 + 27 = 32$$ C'est beaucoup plus rapide que de calculer chaque terme un par un.

Définition — Suite arithmétique

Une suite arithmétique est une suite où chaque terme après le premier est obtenu en ajoutant une valeur constante au terme précédent. Cette constante est appelée la raison, notée $r$.

Définition par récurrence : La règle pour trouver le terme suivant à partir du précédent est :$$u_{n+1} = u_n + r$$
Formule explicite : On peut aussi trouver n'importe quel terme directement en utilisant sa position, $n$.
- Si la suite commence par $u_1$ : $$u_n = u_1 + (n-1)r$$
- Si la suite commence par $u_0$ : $$u_n = u_0 + nr$$

Proposition — Terme général d'une suite arithmétique

Soit $(u_n)$ une suite arithmétique de raison $r$.

Pour tout entier naturel $n$ : $u_n = u_0 + nr$.
Si la suite commence à $u_1$ : $u_n = u_1 + (n-1)r$.
Plus généralement, pour tous entiers naturels $n$ et $p$ : $u_n = u_p + (n-p)r$.

Exemple

Soit $(u_n)$ la suite arithmétique de premier terme $u_0 = 5$ et de raison $r = 3$.

Calculer $u_{20}$.
Une autre suite arithmétique $(v_n)$ a pour raison $3$ et vérifie $v_5 = 17$. Calculer $v_{12}$.

D'après la proposition, $u_{20} = u_0 + 20r = 5 + 20 \times 3 = 65$.
En partant de $v_5$ : $v_{12} = v_5 + (12 - 5) \times 3 = 17 + 21 = 38$.

Compétences à pratiquer

Étudier une suite arithmétique
Déterminer le rang d'un terme
Modéliser avec des suites arithmétiques
Déterminer la formule à partir de deux termes
Démontrer qu'une suite est arithmétique
Résoudre un problème de seuil

II.2 Suites géométriques : la croissance exponentielle

Une suite géométrique est un autre type fondamental de suite qui suit une règle de récurrence. Elle est définie par un terme de départ et un facteur multiplicatif constant : pour passer d'un terme au suivant, on multiplie toujours par le même nombre.

On considère une suite géométrique avec un premier terme $u_1 = 2$ et une raison géométrique $q = 3$.
On peut écrire les premiers termes en multipliant par 3 de manière répétée :

$u_1 = 2$
$u_2 = 2 \times 3$
$u_3 = 2 \times 3 \times 3$
$u_4 = 2 \times 3 \times 3 \times 3$

On réécrit cela en utilisant des exposants pour voir le motif :

$u_1 = 2 \times 3^{\textcolor{colordef}{0}}$
$u_2 = 2 \times 3^{\textcolor{colordef}{1}}$
$u_3 = 2 \times 3^{\textcolor{colordef}{2}}$
$u_4 = 2 \times 3^{\textcolor{colordef}{3}}$

Le motif est : pour trouver le $n$-ième terme ($u_n$), on part de $u_1$ et on multiplie par la raison $q$ exactement $\textcolor{colordef}{(n-1)}$ fois. Cela donne la formule explicite :$$u_n = u_1 \times q^{n-1}$$ On peut trouver $u_{10}$ directement :$$u_{10} = u_1 \times q^{10-1} = 2 \times 3^9 = 2 \times 19\,683 = 39\,366$$ C'est beaucoup plus rapide que de calculer chaque terme un par un.

Définition — Suite géométrique

Une suite géométrique est une suite dont chaque terme, à partir du deuxième, s'obtient en multipliant le précédent par un même nombre non nul. Ce nombre est appelé la raison de la suite, notée $q$.

Définition par récurrence : Le terme suivant s'obtient à partir du précédent par :$$u_{n+1} = q \times u_n$$
Formule explicite : On peut aussi calculer directement n'importe quel terme à partir de son rang $n$.
- Si la suite commence par $u_1$ : $$u_n = u_1 \times q^{n-1}$$
- Si la suite commence par $u_0$ : $$u_n = u_0 \times q^n$$

Exemple

Une suite géométrique a pour premier terme $u_1 = 2$ et pour raison géométrique $q = 2$.
Déterminer les cinq premiers termes de cette suite.

La règle de récurrence est $u_{n+1} = u_n \times 2$. On commence avec $u_1 = 2$ et on applique la règle de manière répétée.

$u_1 = \boldsymbol{2}$ (donné)
$u_2 = 2 \times u_1 = 2 \times 2 = \boldsymbol{4}$
$u_3 = 2 \times u_2 = 2 \times 4 = \boldsymbol{8}$
$u_4 = 2 \times u_3 = 2 \times 8 = \boldsymbol{16}$
$u_5 = 2 \times u_4 = 2 \times 16 = \boldsymbol{32}$

Les cinq premiers termes sont : $2$ ; $4$ ; $8$ ; $16$ ; $32$.

Proposition — Terme général d'une suite géométrique

Soit $(u_n)$ une suite géométrique de raison $q$.

Pour tout entier naturel $n$ : $u_n = u_0 \times q^n$.
Si la suite commence à $u_1$ : $u_n = u_1 \times q^{n-1}$.
Plus généralement, pour tous entiers naturels $n$ et $p$ avec $n \geq p$ : $u_n = u_p \times q^{n-p}$.

Exemple

Soit $(u_n)$ la suite géométrique de premier terme $u_0 = 3$ et de raison $q = 2$.

Calculer $u_{10}$.
Une autre suite géométrique $(v_n)$ a pour raison $2$ et vérifie $v_4 = 24$. Calculer $v_7$.

D'après la proposition, $u_{10} = u_0 \times q^{10} = 3 \times 2^{10} = 3 \times 1024 = 3072$.
En partant de $v_4$ : $v_7 = v_4 \times 2^{7-4} = 24 \times 8 = 192$.

Compétences à pratiquer

Étudier une suite géométrique
Identifier la règle de récurrence
Modéliser avec des suites géométriques
Déterminer le rang d'un terme
Déterminer la formule à partir de deux termes
Démontrer qu'une suite est géométrique

II.3 Croissance et décroissance à taux constant

Une somme d'argent est placée à un taux fixe de $3\pourcent$ par an : chaque année, les intérêts sont ajoutés au compte, puis génèrent eux-mêmes des intérêts l'année suivante (intérêts composés). Pourquoi une telle situation se modélise-t-elle par une suite géométrique ? Chaque année, la somme n'augmente pas d'un montant fixe, mais d'une fraction fixe d'elle-même :$$\text{nouvelle somme} = \text{ancienne somme} + \frac{3}{100} \times \text{ancienne somme} = \text{ancienne somme} \times 1{,}03.$$ Ainsi, d'une année à la suivante, on multiplie par le même facteur $1{,}03$. C'est exactement la relation de récurrence d'une suite géométrique, $u_{n+1} = 1{,}03\,u_n$, dont la forme explicite est $u_n = u_0 \times 1{,}03^n$. Le même raisonnement vaut pour toute évolution en pourcentage constant de $t\pourcent$ par période, de facteur $1 + \dfrac{t}{100}$ — une population croissant à taux constant, une voiture perdant de la valeur chaque année.

Méthode — Modéliser une évolution en pourcentage constant

Pour une grandeur évoluant d'un taux fixe de $t\pourcent$ à chaque période, à partir de $u_0$ :

Le taux $t$ est signé : $t > 0$ pour une croissance, $-100 < t < 0$ pour une décroissance (une baisse de $100\,\pourcent$ ou plus n'est pas une évolution en pourcentage d'une quantité strictement positive).
Dans tous les cas, la raison est le coefficient multiplicateur $\;q = 1 + \dfrac{t}{100}$ : $+5\pourcent$ donne $t = 5$ et $q = 1{,}05$ ; $-15\pourcent$ donne $t = -15$ et $q = 1 + \dfrac{-15}{100} = 0{,}85$.
Après $n$ périodes : $\;u_n = u_0\, q^n$.

Exemple — Intérêts composés

Un capital de $1000~\Euro$ est placé à un taux d'intérêt annuel fixe de $5\pourcent$. Quelle est sa valeur après $3$ ans ?

Chaque année, le capital est multiplié par $1 + 0{,}05 = 1{,}05$ : les montants annuels forment donc une suite géométrique :$$\begin{aligned}[t] u_1 &= 1000 \times 1{,}05 \\ u_2 &= (1000 \times 1{,}05) \times 1{,}05 = 1000 \times 1{,}05^2 \\ u_3 &= 1000 \times 1{,}05^3. \end{aligned}$$ Ainsi $u_n = u_0\, q^n$ avec $u_0 = 1000$ et $q = 1{,}05$, et$$u_3 = 1000 \times 1{,}05^3 = 1000 \times 1{,}157625 \approx 1157{,}63~\Euro.$$

Exemple — Dépréciation

Une voiture achetée $20\,000~\Euro$ perd $15\pourcent$ de sa valeur chaque année. Quelle est sa valeur après $4$ ans ?

La valeur diminue de $15\pourcent$ chaque année, donc $t = -15$ et le multiplicateur est $q = 1 + \dfrac{t}{100} = 1 + \dfrac{-15}{100} = 0{,}85$, d'où $u_n = 20\,000 \times 0{,}85^n$.$$u_4 = 20\,000 \times 0{,}85^4 = 20\,000 \times 0{,}52200625 \approx 10\,440{,}13~\Euro.$$

Compétences à pratiquer

Modéliser une croissance ou une décroissance à taux constant
Résoudre un problème de seuil à taux constant

III Le sens de variation d'une suite

III.1 Suites croissantes et décroissantes

Quand on écrit les premiers termes d'une suite, une question vient naturellement : les termes montent-ils toujours ? descendent-ils toujours ? ni l'un ni l'autre ? Comme pour les fonctions, on parle du sens de variation d'une suite. Une suite n'étant connue qu'aux rangs entiers, l'outil est simple : comparer chaque terme au suivant, $u_{n+1}$ à $u_n$.

Définition — Suites croissantes et décroissantes

Soit $(u_n)$ une suite.

La suite $(u_n)$ est croissante à partir du rang $n_0$ si, pour tout $n \ge n_0$, on a $\boldsymbol{u_{n+1} \ge u_n}$.
La suite $(u_n)$ est décroissante à partir du rang $n_0$ si, pour tout $n \ge n_0$, on a $\boldsymbol{u_{n+1} \le u_n}$.
Une suite qui est soit croissante, soit décroissante est dite monotone.

Remarque

Comme pour les fonctions, si l'on remplace les inégalités larges par des inégalités strictes, on parle d'une suite strictement croissante ou strictement décroissante.
Certaines suites ne sont pas monotones, par exemple la suite $(u_n)$ définie par $u_n = (-1)^n$, qui alterne entre $1$ et $-1$.

Compétences à pratiquer

Lire le sens de variation sur un graphique

III.2 Sens de variation des suites arithmétiques et géométriques

Proposition — Sens de variation d'une suite arithmétique

Soit $(u_n)$ une suite arithmétique de raison $r$.

Si $r \gt 0$, alors $(u_n)$ est strictement croissante.
Si $r \lt 0$, alors $(u_n)$ est strictement décroissante.
Si $r = 0$, alors $(u_n)$ est constante.

Proposition — Sens de variation d'une suite géométrique

Soit $(u_n)$ une suite géométrique de premier terme $u_0 > 0$ et de raison $q > 0$.

Si $q > 1$, alors $(u_n)$ est strictement croissante.
Si $0 < q < 1$, alors $(u_n)$ est strictement décroissante.
Si $q = 1$, alors $(u_n)$ est constante.

Exemple

Donner le sens de variation des suites suivantes.

$(u_n)$ arithmétique de raison $r = -2$.
$(v_n)$ géométrique de premier terme $v_0 = 5$ et de raison $q = 1{,}2$.
$(w_n)$ géométrique de premier terme $w_0 = -4$ et de raison $q = 3$.