\( \definecolor{colordef}{RGB}{249,49,84} \definecolor{colorprop}{RGB}{18,102,241} \)

Résoudre des équations quadratiques

Les équations quadratiques sont des équations du second degré qui modélisent de nombreuses situations réelles (aires, trajectoires, bénéfices, optimisation). Dans ce chapitre, nous apprendrons à reconnaître la forme standard \(ax^2+bx+c=0\), à identifier les coefficients et à choisir une méthode de résolution adaptée : factorisation (y compris les produits remarquables), complétion du carré et formule quadratique. Nous utiliserons aussi le discriminant pour déterminer le nombre de solutions réelles.

Équation quadratique

Définition Équation quadratique
Une équation quadratique est une équation qui peut être écrite sous la forme standard :$$ax^2 + bx + c = 0$$où \(a, b,\) et \(c\) sont des coefficients connus, et \(a \neq 0\). La condition \(a \neq 0\) est ce qui rend l'équation quadratique.
Une solution ou racine de l'équation est une valeur de \(x\) qui rend l'égalité vraie.
Exemple
Considère l'équation \(3x^2 + 5x + 4 = 0\). Est-ce une équation quadratique ? Si oui, indique les coefficients \(a\), \(b\) et \(c\).

Oui. Elle est de la forme \(ax^2+bx+c=0\) avec \(a=3\), \(b=5\), \(c=4\) et \(a\neq 0\), donc c'est bien une équation quadratique.

Exemple
\(1\) et \(3\) sont-ils des racines de l'équation \(x^2 - 3x + 2 = 0\) ?

Pour vérifier si \(1\) et \(3\) sont des racines, on les remplace dans l'équation :
  • Pour \(x=1\), \(1^2 - 3 \cdot 1 + 2 = 1 - 3 + 2 = 0\).
    Donc \(1\) est une racine.
  • Pour \(x=3\), \(3^2 - 3 \cdot 3 + 2 = 9 - 9 + 2 = 2 \neq 0\).
    Donc \(3\) n'est pas une racine.

Une équation quadratique peut ne pas avoir de solution réelle. Par exemple, \(x^2 =-1\) n'a pas de solution réelle, car le carré d'un nombre réel ne peut pas être négatif.

Résolution par factorisation

La stratégie principale pour résoudre les équations quadratiques est d'utiliser la règle du produit nul. Cette règle permet de décomposer une équation quadratique en équations linéaires plus simples. Pour l'utiliser, on doit d'abord factoriser l'expression quadratique.
Méthode Résolution par la factorisation
La stratégie principale pour résoudre les équations quadratiques est d'utiliser la règle du produit nul.
  1. Écrire l'équation sous la forme standard, \(ax^2+bx+c=0\).
  2. Factoriser complètement l'expression quadratique.
  3. Appliquer la règle du produit nul : poser que chaque facteur est égal à zéro.
  4. Résoudre chaque équation linéaire obtenue.
Proposition Règle du produit nul
Si le produit de deux ou plusieurs facteurs est égal à zéro, alors au moins l'un des facteurs doit être égal à zéro.
Si \(\textcolor{colordef}{A}\,\textcolor{colorprop}{B} = 0\) alors \(\textcolor{colordef}{A=0}\) ou \(\textcolor{colorprop}{B=0}\).
Remarque : un ou les deux facteurs peuvent être nuls.
Exemple
Résous \((x - 1)(x + 2) = 0\).

$$\begin{aligned}(x-1)(x+2) &= 0\\ x-1 = 0 &\quad \text{ou} \quad x+2=0 &&\color{gray}\text{(Règle du produit nul)} \\ x = 1 &\quad \text{ou} \quad x = -2 &&\color{gray}\text{(Résoudre chaque équation)}\\ \end{aligned}$$

Techniques de factorisation pour des équations de formes particulières

Avant d'apprendre une méthode générale, nous allons d'abord maîtriser la résolution d'équations qui peuvent être factorisées en utilisant des schémas connus.
Proposition Facteur commun (\(c\equal 0\))
Pour les équations de la forme \(ax^2+bx=0\), le facteur commun est \(x\) :$$x(ax+b)=0 \Leftrightarrow x=0 \text{ ou } ax+b=0$$
Exemple
Trouve les racines de \(x^2 - 2x = 0\).

$$\begin{aligned}x^2 - 2x &= 0 \\ x(x-2) &= 0 &&\color{gray}\text{(Mettre en facteur le facteur commun }x\text{)} \\ x = 0 &\quad \text{ou} \quad x-2=0 &&\color{gray}\text{(Règle du produit nul)} \\ x = 0 &\quad \text{ou} \quad x=2\end{aligned}$$

Proposition Différence de deux carrés (\(b\equal 0\))
Pour les équations de la forme \(x^2-k=0\) (où \(k>0\)) :$$x^2 - (\sqrt{k})^2 = 0 \Leftrightarrow (x - \sqrt{k})(x + \sqrt{k})=0$$
Exemple
Résous \(x^2 - 9 = 0\).

$$\begin{aligned}x^2 - 9 &= 0 \\ x^2 - 3^2 &= 0 \\ (x - 3)(x + 3) &= 0 &&\color{gray}\text{(Différence de deux carrés)} \\ x - 3 = 0 &\quad \text{ou} \quad x + 3 = 0 &&\color{gray}\text{(Règle du produit nul)} \\ x = 3 &\quad \text{ou} \quad x = -3\end{aligned}$$

Proposition Carrés parfaits
Pour les équations de la forme \(x^2 \pm 2ax + a^2=0\) :$$\begin{aligned}x^2 + 2ax + a^2 &= (x + a)^2 = 0 \Leftrightarrow x + a = 0,\\ x^2 - 2ax + a^2 &= (x - a)^2 = 0 \Leftrightarrow x - a = 0.\end{aligned}$$
Exemple
Résous \(x^2 + 2x + 1 = 0\).

$$\begin{aligned}x^2 + 2x + 1 &= 0 \\ (x + 1)^2 &= 0 &&\color{gray}\text{(Factorisation d'un carré parfait)} \\ x + 1 &= 0 &&\color{gray}\text{(Règle du produit nul)} \\ x &= -1\end{aligned}$$C'est une racine double.

La méthode générale : la complétion du carré

Quand une expression quadratique ne correspond à aucune des formes particulières, nous avons besoin d'une méthode générale. Cette méthode est appelée la complétion du carré. L'idée est de réécrire le trinôme comme un carré parfait plus (ou moins) une constante. Lorsqu'on résout une équation, cela conduit ensuite à une différence de deux carrés ou à l'utilisation des racines carrées.
Proposition Complétion du carré
Toute expression quadratique de la forme \(x^2 + bx + c\) (coefficient directeur égal à \(1\)) peut être mise sous forme canonique en complétant le carré :$$x^2 + bx + c = \left(x + \frac{b}{2}\right)^2 - \left(\frac{b}{2}\right)^2 + c.$$Pour un trinôme général \(ax^2 + bx + c\) avec \(a\neq 0\), on commence par mettre \(a\) en facteur :$$ax^2 + bx + c = a\left(x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a}\right)$$puis on complète le carré à l'intérieur de la parenthèse.

On part de l'expression \(x^2 + bx + c\). Notre but est de manipuler les deux premiers termes pour créer un trinôme carré parfait de la forme \((x+k)^2 = x^2 + 2kx + k^2\).$$ \begin{aligned} x^2 + bx + c = & (x^2 + bx) + c && \color{gray}\text{(Regrouper les termes en \(x\))} \\ \end{aligned} $$En comparant \(x^2+bx\) à \(x^2+2kx\), on voit qu'on a besoin de \(b=2k\), donc \(k=\frac{b}{2}\). Le terme manquant pour compléter le carré est \(k^2 = \left(\frac{b}{2}\right)^2\). On ajoute et on soustrait ce terme à l'intérieur de la parenthèse.$$ \begin{aligned} x^2 + bx + c= & \left(x^2 + bx + \left(\frac{b}{2}\right)^2 - \left(\frac{b}{2}\right)^2\right) + c && \color{gray}\text{(Ajouter et soustraire le terme “magique”)} \\ = & \left(x^2 + bx + \left(\frac{b}{2}\right)^2\right) - \left(\frac{b}{2}\right)^2 + c && \color{gray}\text{(Regrouper le trinôme carré parfait)} \\ = & \left(x + \frac{b}{2}\right)^2 - \left(\frac{b}{2}\right)^2 + c && \color{gray}\text{(Factoriser le trinôme)}\end{aligned} $$Ceci complète la preuve.

Exemple
Complète le carré pour \(x^2 + 10x + 24\).

Nous savons que \((x + 5)^2 = x^2 + 10x + 25\). Donc$$\begin{aligned}x^2 + 10x + 24&= x^2 + 10x + 25 -25 +24 \\ &= (x + 5)^2 - 1 &&\color{gray}\text{(Compléter le carré)}.\end{aligned}$$

Méthode Méthode générale pour résoudre une équation quadratique
Pour une équation \(ax^2+bx+c=0\) avec \(a\neq 0\) :
  • Étape 1 : Compléter le carré pour réécrire le membre de gauche comme un carré parfait plus ou moins une constante.
  • Étape 2 : Utiliser la différence de carrés (ou les racines carrées) pour isoler \(x\).
  • Étape 3 : Appliquer la règle du produit nul si l'expression est écrite comme un produit.
  • Étape 4 : Résoudre les équations linéaires obtenues.
Exemple
Résous \(x^2 + 10x + 24 = 0\).

Nous savons que \((x + 5)^2 = x^2 + 10x + 25\). Donc$$\begin{aligned}x^2 + 10x + 24 &= 0 \\ x^2 + 10x + 25 -25 +24 &= 0 \\ (x + 5)^2 - 1 &= 0 &&\color{gray}\text{(Compléter le carré)}\\ (x + 5)^2 - 1^2 &= 0 &&\color{gray}\text{(Différence de carrés)}\\ (x + 5 - 1)(x + 5 + 1) &= 0 &&\color{gray}\text{(Factoriser)}\\ (x + 4)(x + 6) &= 0 &&\color{gray}\text{(Simplifier)}\\ x + 4 = 0 &\text{ ou } x + 6 = 0 &&\color{gray}\text{(Règle du produit nul)} \\ x = -4 &\text{ ou } x = -6 &&\color{gray}\text{(Résoudre)}.\end{aligned}$$

Formule quadratique

En appliquant la méthode de la complétion du carré à l'équation générale \(ax^2 + bx + c = 0\), on obtient une formule qui résout n'importe quelle équation quadratique. C'est la formule quadratique.
Proposition Formule quadratique
Pour toute équation quadratique \(ax^2 + bx + c = 0\), le discriminant, noté \(\Delta\), est défini par $$\Delta = b^2 - 4ac.$$Son signe détermine le nombre de solutions réelles :
  • Si \(\Delta > 0\), il y a deux racines réelles :$$x = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}\text{ ou }x = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$$
  • Si \(\Delta = 0\), il y a une unique racine réelle (racine double) :$$x = \frac{-b}{2a}.$$
  • Si \(\Delta < 0\), il n'y a pas de racines réelles.

Supposons \(ax^2 + bx + c = 0\), où \(a \neq 0\).$$\begin{aligned}ax^2 + bx + c &= 0 \\ x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} &= 0 \quad \color{gray}\text{(Diviser chaque terme par \(a\), puisque \(a \neq 0\))} \\ x^2 + \frac{b}{a}x + \left(\frac{b}{2a}\right)^2 - \left(\frac{b}{2a}\right)^2 + \frac{c}{a} &= 0 \quad \color{gray}\text{(Compléter le carré)} \\ \left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2 - 4ac}{4a^2} &= 0 \quad \color{gray}\text{(Simplifier)} \\ \left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{\Delta}{4a^2} &= 0 \quad \color{gray}\text{(où \(\Delta = b^2 - 4ac\))}.\end{aligned}$$Maintenant, considérons les cas en fonction du discriminant \(\Delta\) :
  • Cas \(\Delta \geq 0\) : Puisque \(\dfrac{\Delta}{4a^2} \geq 0\), une racine carrée réelle existe.$$\begin{aligned}\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 &= \frac{\Delta}{4a^2} \\ \left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \left(\sqrt{\frac{\Delta}{4a^2}}\right)^2 &= 0 \\ \left(x + \frac{b}{2a} - \sqrt{\frac{\Delta}{4a^2}}\right) \left(x + \frac{b}{2a} + \sqrt{\frac{\Delta}{4a^2}}\right) &= 0 \quad \color{gray}\text{(Différence de carrés)}.\end{aligned}$$En appliquant la règle du produit nul :$$x + \frac{b}{2a} - \sqrt{\frac{\Delta}{4a^2}} = 0 \quad \text{ou} \quad x + \frac{b}{2a} + \sqrt{\frac{\Delta}{4a^2}} = 0.$$En résolvant ces équations linéaires :$$x = -\frac{b}{2a} + \sqrt{\frac{\Delta}{4a^2}} \quad \text{ou} \quad x = -\frac{b}{2a} - \sqrt{\frac{\Delta}{4a^2}}.$$Donc$$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}.$$
    • Si \(\Delta > 0\), il y a deux racines réelles distinctes.
    • Si \(\Delta = 0\), il y a une racine réelle (racine double) : \(x = -\dfrac{b}{2a}\).
  • Cas \(\Delta < 0\) : Alors \(\dfrac{\Delta}{4a^2} < 0\), donc$$\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{\Delta}{4a^2} < 0.$$Puisque le carré d'un nombre réel est non négatif, il n'y a pas de solutions réelles.

Exemple
Considère l'équation quadratique \(x^2 + 2x - 3 = 0\).
  1. Calcule le discriminant.
  2. Indique la nature des racines de l'équation.
  3. Détermine les racines de l'équation.

Pour \(x^2 + 2x - 3 = 0\), on a \(a=1\), \(b=2\), \(c=-3\).
  1. \(\begin{aligned}[t]\Delta &= b^2 - 4ac \\&= (2)^2 - 4(1)(-3) \\&= 4 + 12 \\&= 16\end{aligned}\)
  2. Comme \(\Delta > 0\), il y a deux racines réelles distinctes.
  3. \(\begin{aligned}[t]x &= \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} &&\text{ ou }&& x = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} \\x &= \frac{-2 - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} &&\text{ ou }&& x = \frac{-2 + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} \\x &= \frac{-2 - 4}{2} &&\text{ ou }&& x = \frac{-2 + 4}{2} \\x &= -3 &&\text{ ou }&& x = 1\end{aligned}\)