Fonction exponentielle

La fonction exponentielle est un outil mathématique unique utilisé pour modéliser des phénomènes dont l'évolution est proportionnelle à leur valeur, comme la croissance démographique, la désintégration radioactive ou les intérêts composés. Sa propriété la plus remarquable est d'être sa propre dérivée.

Définition

Définition Fonction exponentielle

Il existe une unique fonction $f$ dérivable sur $\mathbb{R}$, appelée fonction exponentielle et notée $\exp$, telle que :

$f'(x) = f(x)$ pour tout $x \in \mathbb{R}$ (la fonction est égale à sa propre dérivée).
$f(0) = 1$.

Proposition Propriété de la dérivée

Par définition, pour tout réel $x$ :$$\exp'(x) = \exp(x)$$

Propriétés algébriques et notation

Proposition Relation fonctionnelle fondamentale

Pour tous réels $x$ et $y$ :$$\exp(x + y) = \exp(x) \times \exp(y)$$

Proposition Strict positivite

La fonction $\exp$ est strictement positive sur $\mathbb{R}$ : pour tout $x \in \mathbb{R}$, $\exp(x) > 0$.

Preuve

Pour tout réel $x$, $\exp(x) = \exp\left(\frac{x}{2} + \frac{x}{2}\right) = \left[\exp\left(\frac{x}{2}\right)\right]^2$.
Un carré étant toujours positif ou nul, on a $\exp(x) \geqslant 0$.
De plus, $\exp(x) \times \exp(-x) = \exp(0) = 1$. Si $\exp(x)$ était nul, le produit ne pourrait pas être égal à 1.
Donc, la fonction exponentielle ne s'annule jamais : elle est strictement positive.

Définition La constante $e$ et notation puissance

Le nombre $\exp(1)$ est noté $e$. Sa valeur approchée est $e \approx 2,718$.Pour tout réel $x$, on note désormais :$$\exp(x) = e^x$$

Proposition Règles de calcul

Pour tous réels $x, y$ et tout entier relatif $n$ :

$e^0 = 1$ et $e^1 = e$
$e^{x+y} = e^x \times e^y$
$e^{-x} = \dfrac{1}{e^x}$
$e^{x-y} = \dfrac{e^x}{e^y}$
$(e^x)^n = e^{nx}$

Étude de la fonction

Proposition Variations

La fonction exponentielle est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.

Preuve

La dérivée de $f(x) = e^x$ est $f'(x) = e^x$.
Comme nous l'avons prouvé, $e^x > 0$ pour tout $x$ réel. La dérivée étant strictement positive, la fonction est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.

Proposition Dérivée de $e^{u(x)}$

Soit $u$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$. La fonction $f$ définie par $f(x) = e^{u(x)}$ est dérivable sur $I$ et sa dérivée est :$$\textcolor{colorprop}{\left(e^{u(x)}\right)' = u'(x) e^{u(x)}}$$Application directe :
Dans le cas particulier où $u(x) = ax + b$ (avec $a$ et $b$ des constantes réelles), la dérivée est :$$\textcolor{colorprop}{\left(e^{ax+b}\right)' = a e^{ax+b}}$$

Exemple

Soit $f(x)=e^{5x-3}$. Posons $u(x)=5x-3$, d'où $u'(x)=5$. Ainsi,$$f'(x)=u'(x)\,e^{u(x)}=5e^{5x-3}.$$

Proposition Modèles de croissance et décroissance

Soit $k$ une constante réelle non nulle. Les variations de $f : t \mapsto e^{kt}$ dépendent du signe de $k$ :

Si $\boldsymbol{k > 0}$, la fonction est strictement croissante (Croissance exponentielle).
Si $\boldsymbol{k < 0}$, la fonction est strictement décroissante (Décroissance exponentielle).