Variables aléatoires discrètes

Une variable aléatoire, notée \(X\), est une fonction qui associe une valeur numérique à chaque issue \(\omega\) d’une expérience aléatoire. On note cette valeur \(X(\omega)\).Les valeurs possibles de \(X\) sont les nombres réels que \(X\) peut prendre.

Soit \(X\) le nombre de "pile" obtenu en lançant 2 pièces équilibrées : (pièce rouge) et (pièce bleue). Trouve \(X(\textcolor{colordef}{P},\textcolor{colorprop}{F})\).

Une variable aléatoire est discrète si l'ensemble de ses valeurs possibles est fini ou infini dénombrable. Cela signifie que l'on peut lister toutes les valeurs possibles.

Pour une variable aléatoire \(X\) :

• \((X = x)\) : l’ensemble des issues où \(X\) prend la valeur \(x\).
• \((X \leq x)\) : l’ensemble des issues où \(X\) est inférieur ou égal à \(x\).
• \((X \geq x)\) : l’ensemble des issues où \(X\) est supérieur ou égal à \(x\).

Soit \(X\) le nombre de "pile" obtenu en lançant 2 pièces : et . Liste les issues pour \((X = 0)\), \((X = 1)\), \((X = 2)\), \((X \leq 1)\), et \((X \geq 1)\).

La distribution de probabilité d’une variable aléatoire \(X\) donne la probabilité \(P(X = x_i)\) pour chaque valeur possible \(x_1,x_2,\dots,x_n\). Elle peut être représentée par un tableau ou une formule.

Pour une variable aléatoire \(X\) ayant des valeurs possibles \(x_1,x_2,\dots,x_n\), on a :

• \(0 \leq P(X=x_i) \leq 1\) pour tout \(i=1,\dots,n\),
• \(\displaystyle\sum_{i=1}^n P(X=x_i) =P(X=x_1)+P(X=x_2)+\dots+P(X=x_n)= 1 \).

Soit \(X\) le nombre de "pile" obtenu en lançant 2 pièces équilibrées : et .

1. Liste les valeurs possibles de \(X\).
2. Trouve la distribution de probabilité.
3. Construis le tableau de probabilité.
4. Dessine le graphique de la distribution.

Habituellement, définir une variable aléatoire commence par établir :

1. un univers, c’est-à-dire l’ensemble de toutes les issues possibles,
2. une probabilité associée à cet univers,
3. une fonction \(X\) qui attribue un nombre à chaque issue de l’univers.

C’est un travail assez long. Cependant, souvent, nous préférons définir directement une variable aléatoire \(X\) avec une distribution de probabilité donnée, en nous appuyant sur le contexte de la situation étudiée. Par exemple, imaginons que nous interrogions une classe de 30 élèves sur leurs frères et sœurs et obtenions ces résultats : 10 élèves ont 0 frères et sœurs, 12 en ont 1, 5 en ont 2, et 3 en ont 3. Nous pouvons alors définir la variable aléatoire \(X\) comme le nombre de frères et sœurs d’un élève choisi au hasard, avec cette distribution de probabilité :

\(x\)	0	1	2	3
\(P(X = x)\)	\(\frac{10}{30}\)	\(\frac{12}{30}\)	\(\frac{5}{30}\)	\(\frac{3}{30}\)

Le théorème ci-dessous montre qu’il est toujours possible de construire un univers, une probabilité et une fonction \(X\) pour obtenir une variable aléatoire ayant cette distribution de probabilité.

Soient des valeurs possibles \(x_1, x_2, \ldots, x_n\) et des probabilités \(p_1, p_2, \ldots, p_n\).
Si :

• \(0 \leq p_i \leq 1\) pour chaque \(i = 1, 2, \ldots, n\),
• \(\sum_{i=1}^n p_i = p_1 + p_2 + \cdots + p_n = 1\),

alors il existe une variable aléatoire \(X\) ayant la distribution de probabilité \(P(X = x_i) = p_i\) pour chaque \(i = 1, 2, \ldots, n\).

En pratique, on définit souvent une variable aléatoire \(X\) directement en précisant sa distribution de probabilité. L’essentiel est de s’assurer que cette distribution est valide, c’est-à-dire qu’elle respecte les conditions d’une distribution de probabilité : toutes les probabilités doivent être non négatives et leur somme doit égaler 1.

Nous interrogeons une classe de 30 élèves sur leurs frères et sœurs et obtenons ces résultats : 10 élèves ont 0 frères et sœurs, 12 en ont 1, 5 en ont 2, et 3 en ont 3. On définit une variable aléatoire \(X\) comme le nombre de frères et sœurs d’un élève choisi au hasard, avec cette distribution de probabilité :

\(x\)	0	1	2	3
\(P(X = x)\)	\(\frac{10}{30}\)	\(\frac{12}{30}\)	\(\frac{5}{30}\)	\(\frac{3}{30}\)

Détermine si cette distribution de probabilité est valide.

L'espérance d’une variable aléatoire \(X\) est la "moyenne des valeurs si tu répètes l’expérience de nombreuses fois". Elle est calculée en prenant toutes les valeurs possibles, en multipliant chacune par sa probabilité, et en les additionnant — c'est-à-dire une moyenne pondérée où les probabilités servent de poids.

Pour une variable aléatoire \(X\) avec les valeurs possibles \(x_1, x_2, \ldots, x_n\), l'espérance, \(E(X)\), aussi appelée la moyenne, est :$$\begin{aligned}E(X) &= \sum_{i=1}^{n} x_i P(X = x_i)\\ &= x_1 P(X = x_1) + x_2 P(X = x_2) + \cdots + x_n P(X = x_n)\\ \end{aligned}$$

Tu lances 2 pièces équilibrées, et \(X\) est le nombre de "pile". La distribution de probabilité est :

\(x\)	0	1	2
\(P(X = x)\)	\(\frac{1}{4}\)	\(\frac{1}{2}\)	\(\frac{1}{4}\)

Trouve l'espérance de \(X\).

Pour toute variable aléatoire \(X\) et toutes constantes \(a\) et \(b\), l'espérance d'une transformation linéaire de \(X\) est :$$ E(aX + b) = aE(X) + b $$Cette propriété découle de deux règles plus simples :

• \(E(aX) = aE(X)\) (L'espérance d'une variable mise à l'échelle est la mise à l'échelle de l'espérance).
• \(E(X+b) = E(X) + b\) (L'espérance d'une variable translatée est la translation de l'espérance).

La variance mesure à quel point les valeurs d’une variable aléatoire sont dispersées par rapport à sa valeur attendue. L’écart-type est la racine carrée de la variance, donnant une idée de la déviation typique dans les mêmes unités que \(X\).

La variance, notée \(V(X)\), est :$$\begin{aligned}V(X) &= \sum_{i=1}^{n} (x_i - E(X))^2 P(X = x_i)\\ &= \left(x_1-E(X)\right)^2 P(X = x_1) + \left(x_2-E(X)\right)^2 P(X = x_2) + \cdots + \left(x_n-E(X)\right)^2 P(X = x_n)\\ \end{aligned}$$L’écart-type, noté \(\sigma(X)\), est \(\sigma(X) = \sqrt{V(X)}\).

Tu lances 2 pièces équilibrées, et \(X\) est le nombre de "pile". Le tableau de probabilité est :

\(x\)	0	1	2
\(P(X = x)\)	\(\frac{1}{4}\)	\(\frac{1}{2}\)	\(\frac{1}{4}\)

Étant donné \(E(X) = 1\), trouve la variance.

Une formule plus pratique pour le calcul est :$$V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$$