Calcul différentiel

Le calcul différentiel est une branche des mathématiques qui traite des taux de variation. La dérivée d'une fonction en un point donné décrit le taux de variation instantané de la fonction en ce point. Le processus de recherche d'une dérivée est appelé la dérivation. Géométriquement, la dérivée en un point est la pente de la tangente à la courbe de la fonction en ce point.

Plus généralement, pour une fonction $f$, on peut définir une fonction dérivée ou fonction pente, notée $f'$, qui permet de calculer la pente de la tangente en n'importe quel point de la fonction.
Nous avons déjà appris à dériver des fonctions simples impliquant des puissances de $x$. Dans ce chapitre, nous explorerons les règles et techniques pour dériver des fonctions plus complexes.

Dérivée

Taux de variation

Définition Taux de variation

Le taux de variation d'une fonction $f$ entre deux points $A(a, f(a))$ et $B(b, f(b))$ est la pente de la droite sécante $(AB)$.$$ \textcolor{colordef}{\text{Taux de variation} = \dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}} $$

Définition de la dérivée par la limite

Pour déterminer le taux de variation en un unique point $A$, nous pouvons examiner le taux de variation moyen sur un très petit intervalle. Soit le second point $B(a+h, f(a+h))$, où $h$ est une petite variation en $x$. La pente de la sécante $(AB)$ est donnée par :$$ \dfrac{f(a+h) - f(a)}{h} $$Lorsque nous laissons $B$ se rapprocher de $A$, la valeur de $h$ tend vers 0. La droite sécante s'approche de la droite tangente au point A. La limite des pentes des sécantes est la pente de la tangente, que nous définissons comme le nombre dérivé.

Définition La dérivée en un point

La dérivée d'une fonction $f$ en un point $a$, notée $f'(a)$, est le taux de variation instantané de la fonction en ce point. Elle est définie par la limite :$$ \textcolor{colordef}{f'(a) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}} $$Géométriquement, $f'(a)$ est la pente de la tangente au graphe de $f$ au point $(a, f(a))$.

Exemple

Déterminer le nombre dérivé en $x=1$ de $f(x)=x^2$.

Correction

On évalue la limite du taux de variation lorsque $h \to 0$.$$\begin{aligned}\dfrac{f(1+h)-f(1)}{h} &= \dfrac{(1+h)^2 - 1^2}{h} \\ &= \dfrac{1+2h+h^2 - 1}{h} \\ &= \dfrac{2h+h^2}{h} \\ &= 2+h \quad (\text{pour } h \neq 0)\end{aligned}$$Maintenant, on prend la limite :$$ f'(1) = \lim_{h \to 0} (2+h) = 2 $$La dérivée en $x=1$ est 2. Cela signifie que la pente de la tangente au graphe de $f(x)=x^2$ au point $(1,1)$ est 2. Le diagramme ci-dessous montre comment la pente de la droite sécante de $(1,1)$ à $(1+h, f(1+h))$ s'approche de la pente de la tangente à mesure que $h$ diminue.

Fonction dérivée

En trouvant la dérivée en un point général $x$ au lieu d'un point spécifique $a$, nous pouvons construire une nouvelle fonction, $f'(x)$, dont la valeur en tout $x$ est la pente de la tangente à la fonction originale $f(x)$ en ce point.
Le processus de recherche de la dérivée à l'aide de cette limite est appelé la dérivation à partir de la définition.

Définition La fonction dérivée

La fonction dérivée de $f$, notée $f'$, est la fonction définie par :$$ f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} $$

Exemple

Pour $f(x)=x^2$, déterminer sa fonction dérivée $f'$.

Correction

On évalue la limite du taux de variation.$$\begin{aligned}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} &= \dfrac{(x+h)^2 - x^2}{h} \\ &= \dfrac{x^2+2xh+h^2-x^2}{h} \\ &= \dfrac{2xh+h^2}{h}\\ &= \dfrac{h(2x+h)}{h}\\ & = 2x+h \quad (\text{pour } h \neq 0)\\ &\xrightarrow[h \to 0]{ } 2x.\end{aligned}$$Donc$$ f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} = 2x $$

Bien que la notation « prime » $f'(x)$ soit compacte, une notation alternative due à Gottfried Wilhelm Leibniz est souvent plus descriptive et polyvalente, en particulier pour la règle de la dérivation en chaîne ou les équations différentielles.

Définition Notation de Leibniz

Soit $y$ une fonction de $x$, c'est-à-dire $y=f(x)$.
La fonction dérivée peut s'écrire :$$ \dfrac{dy}{dx}=f'(x) $$Ceci se lit « dé y sur dé x » et représente la dérivée de $y$ par rapport à la variable $x$.

Le terme $\dfrac{dy}{dx}$ doit être considéré comme un seul opérateur, et non comme une fraction. Cependant, il provient de l'idée de la fraction $\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ lorsque la variation de $x$ devient infinitésimale.
On peut aussi utiliser la notation $\dfrac{d}{dx}[f(x)]$, qui se lit « la dérivée par rapport à $x$ de $f(x)$ ».

Exemple

Pour $y=x^2$, déterminer $\dfrac{dy}{dx}$.

Correction

La dérivée de $x^2$ est $2x$. En notation de Leibniz, on écrit :$$ \dfrac{dy}{dx} = 2x$$

Conditions de dérivabilité

Avant d'explorer des règles de dérivation plus avancées, il est important de comprendre les conditions dans lesquelles une fonction peut être dérivée. Cela nous amène aux concepts de continuité et de dérivabilité.

Une fonction est continue si son graphe peut être tracé sans lever le crayon du papier. Il n'y a ni coupures, ni trous, ni sauts.
Une fonction est dérivable si elle est continue et que son graphe est « lisse », c'est-à-dire qu'il ne présente ni coins pointus ni tangentes verticales.

La relation la plus importante est que la dérivabilité implique la continuité. Si une fonction a une pente de tangente bien définie en un point, elle doit être continue en ce point. Cependant, l'inverse n'est pas vrai ; une fonction peut être continue mais non dérivable.

Proposition Quand une fonction n'est-elle pas dérivable ?

Une fonction $f$ n'est pas dérivable en un point $x=a$ si son graphe présente :

Une discontinuité (un trou ou un saut).
Un coin pointu (où la pente à gauche n'est pas égale à la pente à droite).
Une tangente verticale (où la pente est infinie).

Exemple

Le graphe d'une fonction $y=f(x)$ est tracé. Pour quelles valeurs de $x$ la fonction n'est-elle pas dérivable, et pourquoi ?

Correction

La fonction n'est pas dérivable en deux points :

En $\boldsymbol{x=-1}$, il y a une discontinuité de saut. Comme la fonction n'est pas continue ici, elle ne peut pas être dérivable.
En $\boldsymbol{x=1}$, il y a un coin pointu. La pente du segment de droite venant de la gauche est de $-0,5$, tandis que la tangente à la parabole venant de la droite a une pente de $-2(1-2)=2$. Comme les pentes à gauche et à droite ne sont pas égales, la fonction n'est pas dérivable en ce point.

Règles de dérivation

Bien que le calcul d'une dérivée à partir de la définition par la limite soit fondamental pour comprendre le concept, c'est souvent un processus long et répétitif. Pour dériver des fonctions plus complexes de manière efficace, les mathématiciens ont développé un ensemble de règles puissantes. Cette section présentera ces règles essentielles, qui constituent le fondement de la dérivation pratique. En les maîtrisant, vous serez capable de déterminer la dérivée de presque toutes les fonctions que vous rencontrerez.

Règles de base et fonctions puissance

Nous commençons par les règles fondamentales qui s'appliquent aux composantes les plus courantes des fonctions, telles que les constantes, les puissances et les combinaisons arithmétiques simples. Ces règles peuvent être utilisées pour dériver n'importe quelle fonction polynomiale, ainsi que de nombreuses autres fonctions simples, sans avoir à recourir à chaque fois à la définition par la limite.

Proposition Règles de dérivation de base

Règle de la constante : Si $f(x)=c$, alors $f'(x)=0$.
Règle de la puissance : Si $f(x)=x^n$, alors $f'(x)=nx^{n-1}$ pour tout $n \in \mathbb{R}$.
Règle du multiple constant : Si $f(x)=c \cdot u(x)$, alors $f'(x)=c \cdot u'(x)$.
Règle de la somme : Si $f(x)=u(x) + v(x)$, alors $f'(x)=u'(x) + v'(x)$.

Preuve

Démonstration pour si $f(x)=u(x)+v(x)$, alors $f'(x)=u'(x)+v'(x)$ :
On évalue la limite du taux de variation.$$\begin{aligned}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} &= \dfrac{\left[u(x+h)+v(x+h)\right] - \left[u(x)+v(x)\right]}{h} \\ &= \dfrac{\left[u(x+h)-u(x)\right] + \left[v(x+h)-v(x)\right]}{h} \\ &= \dfrac{u(x+h)-u(x)}{h} + \dfrac{v(x+h)-v(x)}{h} \\ &\xrightarrow[h \to 0]{ } u'(x) + v'(x)\quad \text{(somme des limites)}.\end{aligned}$$Donc $ f'(x) = u'(x)+v'(x) $.
Les autres démonstrations sont faites en exercices.

Exemple

Déterminer la dérivée de $f(x) = 4x^3 - 5x^2 + 7x - 2$.

Correction

On applique les règles à chaque terme :$$\begin{aligned}f'(x) &= 4(x^3)' - 5(x^2)' + 7(x)' - (2)' \\ &= 4(3x^2) - 5(2x) + 7(1) - 0 \\ &= 12x^2 - 10x + 7\end{aligned}$$

Règle du produit

Alors que la dérivée d'une somme est la somme des dérivées, ce n'est pas le cas pour un produit. Pour déterminer la dérivée d'une fonction qui est le produit de deux autres fonctions, comme $f(x) = x^2 \sin(x)$, nous devons utiliser une formule spécifique appelée la règle du produit.

Proposition Règle du produit

Si $f(x)=u(x)v(x)$, alors$$ f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) $$En notation de Leibniz, si $y=u\cdot v$ :$$ \dfrac{dy}{dx}= \dfrac{du}{dx}v + u\dfrac{dv}{dx} $$

En mots : « La dérivée de la première fois la seconde, plus la première fois la dérivée de la seconde. »

Exemple

Déterminer la dérivée de $f(x) = (x+1)(x^2+3)$.

Correction

Avec la notation $f'(x)$ :
Pour $f(x)=u(x)v(x)$ avec $u(x)=x+1$ et $v(x)=x^2+3$, les dérivées sont $u'(x)=1$ et $v'(x)=2x$.$$\begin{aligned}f'(x) &= u'(x)v(x) + u(x)v'(x) \\ &= (1)(x^2+3) + (x+1)(2x) \\ &= x^2+3 + 2x^2+2x \\ &= 3x^2+2x+3\end{aligned}$$
Avec la notation de Leibniz ($y=f(x)$) :
Pour $y=uv$ avec $u=x+1$ et $v=x^2+3$, les dérivées sont $\frac{du}{dx}=1$ et $\frac{dv}{dx}=2x$.$$\begin{aligned}\dfrac{dy}{dx} &= \dfrac{du}{dx}v + u\dfrac{dv}{dx} \\ &= (1)(x^2+3) + (x+1)(2x) \\ &= x^2+3 + 2x^2+2x \\ &= 3x^2+2x+3\end{aligned}$$

Règle du quotient

Tout comme pour les produits, déterminer la dérivée du quotient de deux fonctions nécessite une formule spécifique. La règle du quotient est utilisée pour dériver des fonctions de la forme $f(x) = \dfrac{u(x)}{v(x)}$, telles que $f(x) = \dfrac{e^x}{x^2+1}$.

Proposition Règle du quotient

Si $f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}$, alors$$ f'(x) = \dfrac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2} $$En notation de Leibniz, $y=\dfrac{u}{v}$, alors$$ \frac{dy}{dx} = \dfrac{\frac{du}{dx}v - u\frac{dv}{dx}}{v^2} $$

Preuve

On peut écrire le quotient comme un produit :$$ f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} = u(x) \cdot [v(x)]^{-1} $$Soit $a(x) = u(x)$ et $b(x) = [v(x)]^{-1}$.
Les dérivées sont :

$a'(x) = u'(x)$
En utilisant la règle de dérivation en chaîne pour $b(x)$, on obtient $b'(x) = -1 \cdot [v(x)]^{-2} \cdot v'(x) = -\dfrac{v'(x)}{[v(x)]^2}$.

En appliquant la règle du produit :$$\begin{aligned}f'(x) &= \left[a(x)b(x)\right]' \\ &= a'(x)b(x) + a(x)b'(x) \\ &= u'(x) \cdot [v(x)]^{-1} + u(x) \cdot \left(-\dfrac{v'(x)}{[v(x)]^2}\right) \\ &= \dfrac{u'(x)}{v(x)} - \dfrac{u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}\\ &= \dfrac{u'(x)v(x)}{[v(x)]^2} - \dfrac{u(x)v'(x)}{[v(x)]^2} \\ &= \dfrac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}\end{aligned}$$

Exemple

Déterminer la dérivée de $f(x) = \frac{x}{x+1}$.

Correction

Avec la notation $f'(x)$ :
Pour $f(x)=\frac{u(x)}{v(x)}$ avec $u(x)=x$ et $v(x)=x+1$, les dérivées sont $u'(x)=1$ et $v'(x)=1$.$$\begin{aligned}f'(x) &= \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2} \\ &= \frac{(1)(x+1) - (x)(1)}{(x+1)^2} \\ &= \frac{x+1-x}{(x+1)^2} \\ &= \frac{1}{(x+1)^2}\end{aligned}$$
Avec la notation de Leibniz $(y=f(x))$ :
Pour $y=\frac{u}{v}$ avec $u=x$ et $v=x+1$, les dérivées sont $\frac{du}{dx}=1$ et $\frac{dv}{dx}=1$.$$\begin{aligned}\frac{dy}{dx} &= \frac{\frac{du}{dx}v - u\frac{dv}{dx}}{v^2} \\ &= \frac{(1)(x+1) - (x)(1)}{(x+1)^2} \\ &= \frac{x+1-x}{(x+1)^2} \\ &= \frac{1}{(x+1)^2}\end{aligned}$$