Courbes
Équation de la tangente
L'interprétation géométrique la plus directe de la dérivée est qu'elle donne la pente de la droite tangente. Trouver l'équation de cette droite est une application fondamentale de la dérivation.
Proposition Équation de la tangente
On suppose que \(f\) est dérivable en \(x=a\) et que la tangente n'est pas verticale. L'équation de la tangente à la courbe \(y=f(x)\) au point \((a, f(a))\) est donnée par :$$\textcolor{colorprop}{y = f^{\prime}(a)(x-a)+f(a)}$$
Soit \(B(x,y)\) un point quelconque de la droite tangente. Le point de tangence est \(A(a,f(a))\), qui appartient également à la droite tangente.
La pente d'une droite est donnée par la formule \(m = \dfrac{\Delta y}{\Delta x}\). En utilisant les points \(A\) et \(B\), la pente de la droite tangente est :$$ m = \dfrac{y-f(a)}{x-a} \quad \text{pour } x\neq a. $$Par définition, la pente de la tangente à la courbe \(y=f(x)\) au point d'abscisse \(x=a\) est la valeur de la dérivée en ce point, donc :$$ m = f'(a). $$En égalant les deux expressions de la pente, nous obtenons :$$ f'(a) = \dfrac{y-f(a)}{x-a}. $$En multipliant les deux membres par \((x-a)\), on obtient la forme point-pente de l'équation :$$ y - f(a) = f'(a)(x-a). $$Ceci peut être réarrangé sous la forme :$$ y = f'(a)(x-a) + f(a). $$
La pente d'une droite est donnée par la formule \(m = \dfrac{\Delta y}{\Delta x}\). En utilisant les points \(A\) et \(B\), la pente de la droite tangente est :$$ m = \dfrac{y-f(a)}{x-a} \quad \text{pour } x\neq a. $$Par définition, la pente de la tangente à la courbe \(y=f(x)\) au point d'abscisse \(x=a\) est la valeur de la dérivée en ce point, donc :$$ m = f'(a). $$En égalant les deux expressions de la pente, nous obtenons :$$ f'(a) = \dfrac{y-f(a)}{x-a}. $$En multipliant les deux membres par \((x-a)\), on obtient la forme point-pente de l'équation :$$ y - f(a) = f'(a)(x-a). $$Ceci peut être réarrangé sous la forme :$$ y = f'(a)(x-a) + f(a). $$
Exemple
Trouver l'équation de la tangente à \(f(x)=\sqrt{x^{2}+5}\) en \(x=2\).
- Étape 1 : Trouver la dérivée.
On réécrit la fonction : \(f(x) = (x^2+5)^{1/2}\). Avec la règle de dérivation en chaîne : $$\begin{aligned} f'(x) &= \frac{1}{2}(x^2+5)^{-1/2} \cdot (2x)\\ &= \frac{x}{\sqrt{x^2+5}}\end{aligned}$$ - Étape 2 : Trouver les coordonnées du point.
En \(x=2\), l'ordonnée est \(f(2) = \sqrt{2^2+5} = 3\). Le point est \((2,3)\). - Étape 3 : Trouver la pente de la tangente.
La pente est la valeur de la dérivée en \(x=2\) : $$ m = f'(2) = \frac{2}{\sqrt{2^2+5}} = \frac{2}{3}. $$ - Étape 4 : Écrire l'équation de la droite.
$$\begin{aligned} y&= f'(2)(x-2) + f(2)\\ y&=\frac{2}{3}(x-2)+3\\ y &= \frac{2}{3}x + \frac{5}{3}.\\ \end{aligned} $$
Fonctions croissantes et décroissantes
Lorsque nous traçons le graphe d'une fonction, nous pouvons remarquer que la fonction est croissante ou décroissante sur certains intervalles.
Définition Fonctions croissantes et décroissantes
Soit \(I\) un intervalle du domaine d'une fonction \(f\).
- \(f\) est strictement croissante sur \(I\) si pour tous \(x_1, x_2 \in I\) tels que \(x_1 < x_2\), on a \(f(x_1) < f(x_2)\).
- \(f\) est strictement décroissante sur \(I\) si pour tous \(x_1, x_2 \in I\) tels que \(x_1 < x_2\), on a \(f(x_1) > f(x_2)\).
Exemple
La fonction \(f(x) = x^2\) est décroissante sur l'intervalle \(]-\infty,0[\) et croissante sur l'intervalle \(]0,+\infty[\).
La dérivée d'une fonction, \(f'\), nous donne la pente de la tangente en n'importe quel point de la courbe \(y=f(x)\). Cela nous permet de déterminer les intervalles où la fonction est croissante ou décroissante.
Une fonction est croissante là où la pente de sa tangente est positive, et décroissante là où la pente de sa tangente est négative.
Une fonction est croissante là où la pente de sa tangente est positive, et décroissante là où la pente de sa tangente est négative.
Proposition Test de la dérivée première
Pour une fonction \(f\) qui est dérivable sur un intervalle \(I\) :
- Si \(f'(x) > 0\) pour tout \(x \in I\), alors \(f\) est strictement croissante sur \(I\).
- Si \(f'(x) < 0\) pour tout \(x \in I\), alors \(f\) est strictement décroissante sur \(I\).
Méthode Tableau de signes et de variations
Un tableau de signes de la dérivée, \(f'\), montre où la fonction est croissante ou décroissante. Cette information est organisée dans un tableau de variations.
Exemple
Déterminer les variations de la fonction \(f(x)=x^2\).
La dérivée de la fonction \(f(x)=x^2\) est \(f'(x)=2x\).
- La dérivée \(f'(x)\) est négative sur \(]-\infty,0[\), donc la fonction \(f(x)\) est décroissante sur \(]-\infty,0[\).
- La dérivée \(f'(x)\) est positive sur \(]0,+\infty[\), donc la fonction \(f(x)\) est croissante sur \(]0,+\infty[\).
Extremum de fonctions
Définition Extremum global
Soit \(f\) une fonction de domaine de définition \(D\).
- \(f\) admet un maximum global en \(x=c\) si \(f(c) \ge f(x)\) pour tout \(x\) dans \(D\). La valeur \(f(c)\) est la valeur maximale de \(f\).
- \(f\) admet un minimum global en \(x=c\) si \(f(c) \le f(x)\) pour tout \(x\) dans \(D\). La valeur \(f(c)\) est la valeur minimale de \(f\).
Exemple
Pour \(f(x)=(x-1)^2-1\), le point \((1,-1)\) est un minimum global, car \(f(x) \ge f(1)\) pour tout \(x \in \mathbb{R}\).
Définition Extremum local
Soit \(f\) une fonction.
- \(f\) admet un maximum local en \(x=c\) s'il existe un intervalle ouvert \(I\) contenant \(c\) tel que \(f(c) \ge f(x)\) pour tout \(x\) dans \(I\).
- \(f\) admet un minimum local en \(x=c\) s'il existe un intervalle ouvert \(I\) contenant \(c\) tel que \(f(c) \le f(x)\) pour tout \(x\) dans \(I\).
Exemple
La fonction \(f(x) = \frac{x^3}{3} - x\) a un maximum local en \(x=-1\) et un minimum local en \(x=1\).
Définition Point stationnaire
Un point stationnaire d'une fonction \(f\) est un point \((c, f(c))\) sur la courbe où la tangente est horizontale, c'est-à-dire \(f^{\prime}(c)=0\).
Proposition Extrema locaux et points stationnaires
Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle ouvert \(I\), et soit \(c\in I\).Si \(f\) admet un maximum local ou un minimum local en \(x=c\) et si \(f\) est dérivable en \(c\), alors$$ f'(c)=0. $$
Cette proposition montre que tout maximum ou minimum local d'une fonction dérivable (en un point intérieur de l'intervalle) doit se produire en un point stationnaire, c'est-à-dire un point où \(f'(c)=0\).
En pratique, cela signifie que les points stationnaires sont des candidats pour être des maxima ou des minima locaux :
En pratique, cela signifie que les points stationnaires sont des candidats pour être des maxima ou des minima locaux :
- On commence par résoudre \(f'(x)=0\) pour trouver tous les points stationnaires.
- Puis, pour chaque point stationnaire, on étudie le signe de \(f'\) (ou on utilise un tableau de variations, ou encore la dérivée seconde) afin de décider s'il s'agit d'un maximum local, d'un minimum local, ou d'aucun des deux (par exemple, un point d'inflexion).
Proposition Test de la dérivée première pour les extrema locaux
Soit \(c\) un point stationnaire tel que \(f'(c)=0\).
- Si \(f^{\prime}(x)\) change de signe de positif à négatif en \(x=c\), alors \(f\) a un maximum local en \(c\).
- Si \(f^{\prime}(x)\) change de signe de négatif à positif en \(x=c\), alors \(f\) a un minimum local en \(c\).
Exemple
Déterminer et classifier les points stationnaires de \(f(x) = \frac{1}{3}x^3 - x\).
- Trouver la dérivée :$$ f'(x) = x^2 - 1. $$
- Trouver les points stationnaires en résolvant \(f'(x)=0\) :$$ \begin{aligned} x^2 - 1 &= 0 \\ (x-1)(x+1) &= 0.\end{aligned}$$Les points stationnaires sont en \(x=-1\) et \(x=1\).
- Créer le tableau de signes pour \(f'(x)\) :
La dérivée \(f'(x)=x^2-1\) est une parabole ouverte vers le haut avec des racines en \(-1\) et \(1\). Elle est positive à l'extérieur des racines et négative entre elles. - Dresser le tableau de variations et classifier les points :
- En \(x=-1\), le signe de \(f'(x)\) change de \(+\) à \(-\). Il y a donc un maximum local en \(x=-1\).$$f(-1) = \frac{2}{3}.$$
- En \(x=1\), le signe de \(f'(x)\) change de \(-\) à \(+\). Il y a donc un minimum local en \(x=1\).$$f(1) = -\frac{2}{3}.$$
