Probabilité conditionnelle
Imagine que tu essaies de prédire la probabilité de pluie aujourd’hui. Tu pourrais commencer par une probabilité de base fondée sur les prévisions météorologiques. Mais ensuite, tu remarques des nuages sombres qui arrivent — soudainement, les chances de pluie semblent plus élevées car tu disposes d’une nouvelle information. C’est là qu’intervient la probabilité conditionnelle : elle permet de mettre à jour les probabilités lorsque l’on sait qu’un événement supplémentaire s’est produit.
Pense à un jeu avec un sac de boules colorées — par exemple, 5 rouges, 3 bleues et 2 vertes (10 en tout). La chance de tirer une boule rouge est de 5 sur 10, soit \(\frac{5}{10} = \frac{1}{2}\). Maintenant, suppose qu’on te dise que toutes les boules bleues ont été enlevées. Le sac ne contient plus que 5 rouges et 2 vertes (7 en tout), donc la chance de tirer une rouge passe à \(\frac{5}{7}\). Cela illustre la probabilité conditionnelle : la probabilité d’un événement (tirer une rouge) sachant qu’un autre (les bleues sont enlevées) a eu lieu.
Formellement, la probabilité conditionnelle est la probabilité qu’un événement, disons \(F\), se produise sachant qu’un autre, \(E\), s’est déjà réalisé. On l’écrit \(\PCond{F}{E}\), et on dit « la probabilité de \(F\) sachant \(E\) ». C’est un moyen d’affiner les prédictions avec un nouveau contexte, et elle est utilisée partout — des prévisions météorologiques aux tests médicaux.
Pense à un jeu avec un sac de boules colorées — par exemple, 5 rouges, 3 bleues et 2 vertes (10 en tout). La chance de tirer une boule rouge est de 5 sur 10, soit \(\frac{5}{10} = \frac{1}{2}\). Maintenant, suppose qu’on te dise que toutes les boules bleues ont été enlevées. Le sac ne contient plus que 5 rouges et 2 vertes (7 en tout), donc la chance de tirer une rouge passe à \(\frac{5}{7}\). Cela illustre la probabilité conditionnelle : la probabilité d’un événement (tirer une rouge) sachant qu’un autre (les bleues sont enlevées) a eu lieu.
Formellement, la probabilité conditionnelle est la probabilité qu’un événement, disons \(F\), se produise sachant qu’un autre, \(E\), s’est déjà réalisé. On l’écrit \(\PCond{F}{E}\), et on dit « la probabilité de \(F\) sachant \(E\) ». C’est un moyen d’affiner les prédictions avec un nouveau contexte, et elle est utilisée partout — des prévisions météorologiques aux tests médicaux.
Définition
Explorons la probabilité conditionnelle avec un tableau croisé qui montre les préférences de 100 élèves pour les mathématiques, selon leur genre :
| Aime les maths | N’aime pas les maths | Total | |
| Filles | 35 | 16 | 51 |
| Garçons | 30 | 19 | 49 |
| Total | 65 | 35 | 100 |
- Probabilité que l’élève soit une fille :$$\begin{aligned}P(\text{Fille}) &= \frac{\text{Nombre de filles}}{\text{Nombre d’élèves}} \\ &= \frac{51}{100}.\end{aligned}$$
- Probabilité que l’élève aime les maths et soit une fille :$$\begin{aligned}P(\text{Aime les maths et Fille}) &= \frac{\text{Nombre de filles qui aiment les maths}}{\text{Nombre d’élèves}} \\ &= \frac{35}{100}.\end{aligned}$$
- Probabilité que l’élève aime les maths, sachant que c’est une fille :
Puisque l’on sait que l’élève est une fille, on se concentre sur les 51 filles :$$\begin{aligned}\PCond{\text{Aime les maths}}{\text{Fille}} &= \frac{\text{Nombre de filles qui aiment les maths}}{\text{Nombre de filles}} \\ &= \frac{35}{51}.\end{aligned}$$ - Lien avec la formule :
Remarque que :$$\begin{aligned}\PCond{\text{Aime les maths}}{\text{Fille}} &=\frac{35}{51}\\ &= \frac{35/100}{51/100}\\ &= \dfrac{P(\text{Aime les maths et Fille})}{P(\text{Fille})}.\end{aligned}$$Ce schéma donne la règle générale de la probabilité conditionnelle.
Définition Probabilité conditionnelle
La probabilité conditionnelle d’un événement \(F\) sachant un événement \(E\) est la probabilité que \(F\) se produise sachant que \(E\) a déjà eu lieu. On la note \(\PCond{F}{E}\) et on la calcule comme suit :$$\textcolor{colordef}{\PCond{F}{E} = \frac{P(E \cap F)}{P(E)}}, \quad \text{où } P(E) > 0.$$
Exemple
Un dé équilibré à six faces a les faces impaires (1, 3, 5) peintes en vert et les faces paires (2, 4, 6) peintes en bleu. Tu le lances et observes que la face supérieure est bleue. Quelle est la probabilité que ce soit un 6 ?
- Univers : \(\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\), 6 issues équiprobables.
- Événement \(E\) (la face est bleue) : \(\{2, 4, 6\}\), donc \(P(E) = \frac{3}{6} \).
- Événement \(F\) (obtenir 6) : \(\{6\}\).
- Intersection \(E \cap F\) : \(\{6\}\), donc \(P(E \cap F) = \frac{1}{6}\).
- Probabilité conditionnelle :$$\begin{aligned}\PCond{F}{E} &= \frac{P(E \cap F)}{P(E)}\\ &= \frac{\frac{1}{6}}{\frac{3}{6}}\\ &= \frac{1}{6} \times \frac{6}{3}\\ &= \frac{1}{3}.\end{aligned}$$
- La probabilité d'obtenir un 6, sachant que la face est bleue, est \(\frac{1}{3}\).
Diagrammes en arbre des probabilités conditionnelles
Définition Diagramme en arbre des probabilités conditionnelles
Un diagramme en arbre des probabilités conditionnelles organise visuellement les probabilités pour une séquence d’événements :
- Chaque branche issue d’un nœud indique soit une probabilité non conditionnelle (par exemple, \(P(E)\)), soit une probabilité conditionnelle (par exemple, \(\PCond{F}{E}\)).
- Les événements sont indiqués à la fin de chaque branche.
- La probabilité d’une issue au bout d’un chemin est le produit des probabilités le long de ce chemin.
Exemple
La probabilité que Sam entraîne un match est de \(\frac{6}{10}\), et qu’Alex entraîne est de \(\frac{4}{10}\). Si Sam entraîne, la probabilité qu’un joueur soit gardien est de \(\frac{1}{2}\) ; si Alex entraîne, elle est de \(\frac{2}{3}\).
Dessine le diagramme en arbre.
Dessine le diagramme en arbre.
- Définis les événements :
- \(S\) : Sam entraîne.
- \(G\) : Le joueur est gardien.
- Définis les probabilités :
- \(P(S) = \frac{6}{10}\) et \(P(S') = 1 - P(S) = \frac{4}{10}\).
- \(\PCond{G}{S} = \frac{1}{2}\) et \(\PCond{G'}{S} = 1 - \PCond{G}{S} = \frac{1}{2}\).
- \(\PCond{G}{S'} = \frac{2}{3}\) et \(\PCond{G'}{S'} = 1 - \PCond{G}{S'} = \frac{1}{3}\).
- Diagramme en arbre :
Probabilité conjointe : \(P(E \cap F)\)
Parfois, tu connais \(P(E)\) et \(\PCond{F}{E}\), et tu veux déterminer la probabilité que \(E\) et \(F\) se produisent ensemble — par exemple, la probabilité qu’un élève soit une fille qui aime les mathématiques. Cette probabilité s’appelle la probabilité conjointe \(P(E \cap F)\).
Proposition Formule de la probabilité conjointe
$$P(E \cap F) = P(E) \times \PCond{F}{E}, \quad P(E \cap F) = P(F) \times \PCond{E}{F}.$$
Méthode Trouver \(P(E \cap F)\) dans un arbre de probabilité
- Identifie le chemin où \(E\) et \(F\) se produisent tous deux.
- Multiplie les probabilités le long de ce chemin.
Exemple
Pour cet arbre de probabilité,
- Chemin : de \(S\) à \(G\) (mis en évidence) :
- Calcule :$$\begin{aligned}P(S \cap G) &= P(S) \times \PCond{G}{S}\\ &= \frac{6}{10} \times \frac{1}{2}\\ &= \frac{3}{10}.\end{aligned}$$
Loi de la probabilité totale
Theorem Loi de la probabilité totale
Pour des événements \(E\) et \(F\) :$$P(F) = P(E) \PCond{F}{E} + P(E') \PCond{F}{E'}.$$Ce résultat s’applique lorsque \(E\) et son complément \(E'\) partitionnent l’univers. Plus généralement, si \((E_1,\dots,E_n)\) forme une partition de l’univers, alors$$P(F) = \sum_{i=1}^n P(E_i)\PCond{F}{E_i}.$$
Méthode Trouver \(P(F)\) dans un arbre
- Identifie tous les chemins menant à \(F\).
- Multiplie les probabilités le long de chaque chemin et additionne-les.
Exemple
Pour cet arbre de probabilité,
- Chemins vers \(G\) :
- Calcule :$$\begin{aligned}P(G) &= \textcolor{colordef}{\frac{6}{10} \times \frac{1}{2}} + \textcolor{colorprop}{\frac{4}{10} \times \frac{2}{3}} \\ &= \textcolor{colordef}{\frac{3}{10}} + \textcolor{colorprop}{\frac{8}{30}} \\ &= \textcolor{colordef}{\frac{9}{30}} + \textcolor{colorprop}{\frac{8}{30}} \\ &= \frac{17}{30}.\end{aligned}$$