Théorie des ensembles

Un ensemble est une collection d'objets appelés éléments.
Nous listons ses éléments entre des accolades.

Liste les éléments de l’ensemble \(E\), qui inclut toutes les issues possibles lorsque l'on lance un dé standard .

• Un élément est un objet appartenant à un ensemble.
• \(\in\) signifie « est un élément de » ou « appartient à ».
• \(\notin\) signifie « n'est pas un élément de » ou « n'appartient pas à ».

\(2\in \{1,2,3,4,5,6\}\) et \(7\notin \{1,2,3,4,5,6\}\).

Deux ensembles sont égaux s'ils possèdent exactement les mêmes éléments.

Détermine si les ensembles \(\{2,6,4\}\) et \(\{2,4,6\}\) sont égaux.

Détermine si les ensembles \(\{1,2,3\}\) et \(\{1,2,4\}\) sont égaux.

L'ensemble vide est un ensemble sans aucun élément. Il est noté \(\{\}\) ou \(\emptyset\).

L’ensemble des nombres naturels, noté \(\N\), est l’ensemble des nombres utilisés pour compter, commençant par zéro :$$\N = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, \dots\}$$

Un ensemble \(A\) est un sous-ensemble d’un ensemble \(B\) si chaque élément de \(A\) est aussi dans \(B\). On note \(A \subseteq B\).

Est-ce que \(A \subseteq B\) quand \(A = \{2, 4, 6\}\) et \(B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\) ?

La notation par compréhension est une manière de décrire un ensemble en donnant une règle que ses éléments doivent respecter. Elle s’écrit ainsi :$$\{x \in E \mid \text{condition sur } x\}$$Dans cette notation, \(x\) représente un élément d’un ensemble \(E\), et le symbole \(\mid\) (ou parfois \(:\)) sépare \(x\) de la condition qu’il doit remplir.
Elle se lit : « l’ensemble de tous les \(x\) dans \(E\) tels que \(x\) satisfait la condition. »

Soit \(E=\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\) l’ensemble des résultats possibles en lançant un dé standard à six faces .
Quels sont les éléments de l’ensemble \(\{x \in E \mid x \text{ est pair}\}\)?

Un couple ordonné, noté \((a, b)\), est une collection de deux éléments où l'un est désigné comme le premier élément (\(a\)) et l'autre comme le second élément (\(b\)). Deux couples ordonnés \((a, b)\) et \((c, d)\) sont égaux si et seulement si \(a=c\) et \(b=d\).
Plus généralement, un n-uplet, noté \((a_1, a_2, \dots, a_n)\), est une suite finie de \(n\) éléments. Deux n-uplets \((a_1, \dots, a_n)\) et \((b_1, \dots, b_n)\) sont égaux si et seulement si leurs éléments correspondants sont égaux, c'est-à-dire \(a_i = b_i\) pour tout \(i=1, \dots, n\).

Dans une course de relais, deux coureurs forment une équipe. Soient \(L\) Louis et \(H\) Hugo..
Le couple ordonné \((L, H)\) signifie que Louis court en premier et passe le témoin à Hugo.
Le couple ordonné \((H, L)\) signifie qu'Hugo court en premier et passe le témoin à Louis.
Ce sont deux ordres différents.

Le cardinal, noté \(\Cardfr{A}\), représente le nombre d'éléments de l'ensemble \(A\).

\(\Cardfr{\{1,2,3,4,5,6\}}=6\)

• Un ensemble fini contient un nombre fini d’éléments. Autrement dit, on peut compter tous ses éléments et finir de compter.
• Un ensemble infini contient une infinité d’éléments : il n’est pas fini.

• \(\{1, 2, 3\}\) est fini car il contient exactement 3 éléments.\quad
• \(\N = \{0, 1, 2, 3, \dots\}\) est infini car on peut compter sans jamais s’arrêter.

L’intersection de deux ensembles \(A\) et \(B\), notée \(A \cap B\), est l’ensemble des éléments qui sont à la fois dans \(A\) et dans \(B\).

Quelle est l’intersection \(\{1, 2, 3\} \cap \{2, 3, 4\}\) ?

L’union de deux ensembles \(A\) et \(B\), notée \(A \cup B\), est l’ensemble de tous les éléments dans \(A\) ou dans \(B\) (ou dans les deux).

Quelle est l’union \(\{1, 2, 3\} \cup \{2, 3, 4\}\) ?

L'ensemble universel est l'ensemble de tous les éléments considérés.

Le complémentaire d'un ensemble \(A\), noté \(A'\), contient tous les éléments de l'ensemble universel \(U\) qui ne sont pas dans \(A\). Les ensembles \(A\) et \(A'\) sont dits complémentaires.

Étant donné l’univers \(U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\) et l’ensemble \(A = \{1, 3, 5\}\), trouve le complémentaire \(A'\).

Un diagramme de Venn utilise un rectangle pour représenter l’ensemble universel \(U\) et des cercles pour les autres ensembles à l’intérieur.

Voici un diagramme de Venn pour \(U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\) et \(A = \{1, 3, 5\}\) :

Ce tableau montre les opérations courantes sur les ensembles et leurs diagrammes de Venn :

Notation	Signification	Diagramme de Venn
\(A\)	Ensemble \(A\)
\(A'\)	Complément de \(A\) (tout dans \(U\) sauf \(A\))
\(A \subseteq B\)	\(A\) est un sous-ensemble de \(B\)
\(A \cup B\)	Union de \(A\) et \(B\) (tous les éléments de \(A\) ou de \(B\))
\(A \cap B\)	Intersection de \(A\) et \(B\) (éléments dans les deux)
\(A \cap B = \emptyset\)	\(A\) et \(B\) sont disjoints (aucun élément commun)

Les diagrammes de Venn aident à résoudre des problèmes en indiquant le nombre d’éléments dans chaque région.

Dans un diagramme de Venn, on utilise des parenthèses autour des nombres pour montrer combien d’éléments se trouvent dans chaque région.

Considère ce diagramme de Venn :Ici, il y a 6 éléments dans \(A\cap B\), 4 dans \(A\) seulement, 5 dans \(B\) seulement, et 1 hors des deux. Au total, \(A\) a \(4 + 6 = 10\) éléments, \(B\) a \(6 + 5 = 11\) éléments.

Les ensembles de nombres sont des groupes de nombres définis par des propriétés spécifiques et constituent la base des mathématiques. On commence par l'ensemble le plus simple, les nombres naturels (\(\N\)), utilisés pour compter. Ensuite, on construit les entiers (\(\Z\)) en ajoutant les nombres négatifs. Puis, on passe aux nombres rationnels (\(\Q\)) en permettant les fractions, ce qui englobe toutes les divisions possibles entre entiers. Enfin, on arrive aux nombres réels (\(\R\)) en ajoutant les nombres irrationnels, ce qui remplit toute la droite numérique. Chaque ensemble contient les précédents.

• Les nombres naturels, notés \(\N\), sont les nombres utilisés pour compter, en commençant par zéro :$$\N = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, \dots\}$$
• Les entiers, notés \(\Z\), comprennent tous les nombres entiers, positifs, négatifs et zéro :$$\Z = \{\dots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \dots\}$$
• Les nombres rationnels, notés \(\Q\), sont tous les nombres qui peuvent s'écrire sous forme de fraction \(\frac{p}{q}\), avec \(p\) et \(q\) entiers, \(q \neq 0\) :$$\Q = \left\{ \frac{p}{q} \mid p, q \in \Z,\, q \neq 0 \right\}$$
• Les nombres réels, notés \(\R\), comprennent tous les points de la droite numérique : les rationnels et les irrationnels (comme \(\sqrt{2}\) ou \(\pi\)) :$$\R = \{\text{tous les nombres rationnels et irrationnels}\}$$

Les ensembles de nombres sont inclus les uns dans les autres :$$\N \subset \Z \subset \Q \subset \R$$Cela signifie : chaque nombre naturel est un entier, chaque entier est un nombre rationnel, et chaque nombre rationnel est un nombre réel.

Un intervalle est un ensemble de tous les nombres réels situés entre deux bornes, qui peuvent ou non être incluses dans l’ensemble.

L’ensemble de tous les nombres réels entre \(0\) et \(1\), incluant \(1\) mais pas \(0\), est un intervalle. Il s’écrit \(\{x \in \R \mid 0 < x \leq 1\}\).

Les intervalles sont souvent représentés sur une droite numérique selon ces conventions :

1. Un point ouvert (cercle vide) ou une parenthèse signifie que la borne n’est pas incluse.
2. Un point fermé (cercle plein) ou un crochet signifie que la borne est incluse.
3. Une flèche indique que l’intervalle s’étend jusqu’à \(+\infty\) ou \(-\infty\).

La représentation sur une droite numérique de \(\{x \in \R \mid 0 < x \leq 1\}\) est :

Notation des intervalles	Notation par compréhension	Représentation sur la droite numérique
\(\CloseBracketLeftFr a, b \CloseBracketRightFr\)	\(\{x \in \R \mid a \leqslant x \leqslant b\}\)
\(\CloseBracketLeftFr a, b \OpenBracketRightFr\)	\(\{x \in \R \mid a \leqslant x < b\}\)
\(\OpenBracketLeftFr a, b \CloseBracketRightFr\)	\(\{x \in \R \mid a < x \leqslant b\}\)
\(\OpenBracketLeftFr a, b \OpenBracketRightFr\)	\(\{x \in \R \mid a < x < b\}\)
\(\CloseBracketLeftFr a, +\infty\OpenBracketRightFr \)	\(\{x \in \R \mid a \leqslant x\}\)
\(\OpenBracketLeftFr a, +\infty \OpenBracketRightFr \)	\(\{x \in \R \mid a < x\}\)
\(\OpenBracketLeftFr -\infty, a\CloseBracketRightFr\)	\(\{x \in \R \mid x \leqslant a\}\)
\(\OpenBracketLeftFr -\infty, a\OpenBracketRightFr\)	\(\{x \in \R \mid x < a\}\)