Racines

Racines carrées

Le carré d'un nombre est le résultat de ce nombre multiplié par lui-même. Par exemple, $3$ au carré est $3 \times 3$, ce qui s'écrit $3^2$.
$3^2 = 9$. L'aire d'un carré de côté $3$ est $9$ unités carrées.
La racine carrée est l'opération inverse : elle « défait » le carré. Elle permet de trouver la longueur du côté d'un carré à partir de son aire. Si un carré a une aire de $9$, quelle est la longueur de son côté ?
La longueur du côté est $\sqrt{9} = 3$, car $3 \times 3 = 9$.

Définition Racine carrée

La racine carrée d'un nombre positif ou nul $a$ (c'est-à-dire $a \ge 0$), notée $\sqrt{a}$, est le nombre positif ou nul qui, multiplié par lui-même, donne $a$.$$\left(\sqrt{a}\right)^2 = a$$

Remarque

Le symbole de la racine carrée $\sqrt{\quad}$ demande toujours la racine positive. Par exemple, $\sqrt{25} = 5$. C'est une erreur courante de penser que $\sqrt{25}$ vaut $\pm 5$.
Bien qu'il soit vrai que $5^2 = 25$ et $(-5)^2 = 25$, le symbole $\sqrt{25}$ ne fait référence qu'à la solution positive, qui est $5$.
Pourquoi ne peut-on pas prendre la racine carrée d'un nombre strictement négatif (dans les réels) ?
Considérons $\sqrt{-9}$. Pour trouver cette valeur, il nous faudrait un nombre qui, multiplié par lui-même, donne $-9$.
- Un nombre positif au carré est positif ($3 \times 3 = 9$).
- Un nombre négatif au carré est aussi positif ($-3 \times -3 = 9$).
Aucun nombre réel, élevé au carré, ne peut donner un résultat strictement négatif. Par conséquent, on ne peut pas trouver la racine carrée d'un nombre négatif dans l'ensemble des nombres réels.

Définition Carrés parfaits

Un carré parfait est un nombre entier qui est le carré d'un autre entier. La racine carrée d'un carré parfait est un nombre entier.

Exemple

Les premiers carrés parfaits sont :$$ 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, \dots $$Leurs racines carrées sont :$$ \sqrt{1} = 1, \quad \sqrt{4} = 2, \quad \sqrt{9} = 3, \quad \sqrt{16} = 4, \quad \dots $$

Définition Forme simplifiée des racines carrées

Une racine carrée est écrite en forme simplifiée si le nombre sous le signe de la racine carrée est aussi petit que possible.

Calculer des racines carrées

Alors que les racines carrées des carrés parfaits sont faciles à trouver, la plupart des nombres ne sont pas des carrés parfaits. On peut estimer leurs racines carrées ou utiliser une calculatrice pour obtenir une valeur plus précise.

Méthode Utiliser une calculatrice

Sur la plupart des calculatrices, tu peux trouver une racine carrée en utilisant le bouton $\boxed{\sqrt{\;}}$.

Exemple

Utilise une calculatrice pour trouver $\sqrt{10}$, arrondi à $2$ décimales.

Correction

En entrant $\sqrt{10}$ dans une calculatrice, on obtient environ $3{,}162277\ldots$
Arrondi à $2$ décimales, $\sqrt{10} \approx 3{,}16$.

Racines cubiques

De même que la racine carrée d'un nombre est la longueur du côté d'un carré d'aire donnée, la racine cubique $\sqrt[3]{a}$ est la longueur de l'arête d'un cube de volume $a$.

C'est l'opération inverse de l'élévation d'un nombre au cube (puissance 3).

Définition Racine cubique

La racine cubique d'un nombre réel $a$, notée $\sqrt[3]{a}$, est le nombre réel qui, élevé au cube, donne $a$ :$$\left(\sqrt[3]{a}\right)^3 = a$$

Remarque

Contrairement aux racines carrées, les racines cubiques sont définies pour tous les nombres réels, y compris les nombres négatifs. Par exemple, $\sqrt[3]{-27} = -3$ car $(-3) \times (-3) \times (-3) = -27$.

Exemple

Calcule $\sqrt[3]{125}$.

Correction

$\sqrt[3]{125} = 5$ car $5 \times 5 \times 5 = 125$.

Règles des radicaux

Les expressions contenant des racines carrées sont appelées des expressions radicales (ou simplement des radicaux). Pour simplifier et manipuler ces expressions, nous utilisons un ensemble de règles importantes.

Proposition Règle de multiplication

Pour tous nombres réels $a$ et $b$ tels que $a,b \ge 0$ :$$ \textcolor{colorprop}{\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab}} $$

Preuve

Par définition, élever une racine carrée au carré donne le nombre d'origine. Élevons au carré l'expression $\sqrt{a} \times \sqrt{b}$ :$$\begin{aligned}[t]\left(\sqrt{a} \times \sqrt{b}\right)^2 &= (\sqrt{a} \times \sqrt{b}) \times (\sqrt{a} \times \sqrt{b}) \\ &= (\sqrt{a} \times \sqrt{a}) \times (\sqrt{b} \times \sqrt{b}) \\ &= a \times b = ab\end{aligned}$$Puisque le carré de $\sqrt{a} \times \sqrt{b}$ est $ab$, alors par définition, $\sqrt{a} \times \sqrt{b}$ doit être la racine carrée de $ab$.

Exemple

Montre que $\sqrt{4} \times \sqrt{9} = \sqrt{36}$.

Correction

$$\begin{aligned}[t]\sqrt{4} \times \sqrt{9} &= \sqrt{4\times 9} \\ &= \sqrt{36} \\ &= 6\end{aligned}$$

Proposition Racine carrée d'un carré

Pour tout nombre réel $a \ge 0$ :$$ \textcolor{colorprop}{\sqrt{a^2} = a} $$

Preuve

Cela découle directement de la règle de multiplication :$$\sqrt{a^2} = \sqrt{a \times a} = \sqrt{a} \times \sqrt{a} = (\sqrt{a})^2 = a$$

Exemple

Calcule $\sqrt{25}$.

Correction

$$\begin{aligned}[t]\sqrt{25}& = \sqrt{5^2} \\ &= 5\end{aligned}$$

Proposition Règle de simplification

Pour tous nombres réels $a$ et $b$ tels que $a,b \ge 0$ :$$ \textcolor{colorprop}{\sqrt{a^2 b} = a\sqrt{b}} $$

Preuve

$$\begin{aligned}[t]\sqrt{a^2 b} &= \sqrt{a^2} \times \sqrt{b} && \text{(par la règle de multiplication)} \\ &= a \times \sqrt{b} && \text{(par la règle de la racine d'un carré)} \\ &= a\sqrt{b}\end{aligned}$$

Exemple

Simplifie $\sqrt{12}$.

Correction

D'abord, trouve le plus grand carré parfait qui divise $12$, qui est $4$.$$\begin{aligned}[t]\sqrt{12} &= \sqrt{4 \times 3} \\ &= \sqrt{2^2 \times 3} \\ &= 2\sqrt{3}\end{aligned}$$

Proposition Règle de division

Pour tous nombres réels $a$ et $b$ tels que $a \ge 0$ et $b>0$ :$$ \textcolor{colorprop}{\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}} $$

Preuve

Élevons au carré l'expression $\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ :$$\begin{aligned}[t]\left(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\right)^2 &= \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \times \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \\ &= \frac{(\sqrt{a})^2}{(\sqrt{b})^2} \\ &= \frac{a}{b}\end{aligned}$$Puisque le carré de $\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ est $\dfrac{a}{b}$, cette expression doit être la racine carrée de $\dfrac{a}{b}$.

Exemple

Simplifie $\sqrt{\dfrac{9}{16}}$.

Correction

$$\sqrt{\frac{9}{16}} = \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{16}} = \frac{3}{4}$$

Opérations algébriques avec des radicaux

On ne peut additionner ou soustraire des radicaux que s'ils sont semblables, ce qui signifie qu'ils ont exactement le même nombre sous le signe de la racine.
Pense à l'algèbre : tu peux simplifier $2x+4x$ en $6x$, mais tu ne peux pas simplifier $2x+4y$. De la même manière, tu peux simplifier $2\sqrt{3} + 4\sqrt{3}$, mais tu ne peux pas simplifier $2\sqrt{3} + 4\sqrt{5}$.
Quand on multiplie des expressions avec des radicaux, on utilise les mêmes règles qu'en algèbre, comme la distributivité pour développer les parenthèses, ainsi que les règles des radicaux vues précédemment.

Méthode Opérations algébriques

Nous pouvons effectuer des opérations avec des radicaux (racines carrées) de manière similaire aux nombres ordinaires, à condition de respecter les règles des radicaux. En particulier :

Nous pouvons additionner et soustraire des radicaux semblables (même nombre sous le radical) comme nous le faisons pour les termes algébriques semblables :$$ \textcolor{colorprop}{c\sqrt{a} + d\sqrt{a} = (c + d)\sqrt{a}} $$
Nous pouvons utiliser les règles habituelles pour développer les parenthèses (comme la distributivité).

Exemple

Simplifie : $2\sqrt{3} + 4\sqrt{3}$

Correction

Tout comme $2x+4x=6x$, on peut additionner les coefficients du radical semblable :$$2\sqrt{3} + 4\sqrt{3} = (2+4)\sqrt{3} = \boldsymbol{6\sqrt{3}}$$

Exemple

Développe et simplifie $\sqrt{3}(5 - \sqrt{3})$.$$ \begin{aligned}\sqrt{3}(5 - \sqrt{3}) &= (\sqrt{3} \times 5) - (\sqrt{3} \times \sqrt{3}) \\ &= 5\sqrt{3} - 3\end{aligned} $$