Propriétés sur les nombres entiers
Les nombres 1 et 0
Zéro \((0)\) et un \((1)\) sont des nombres très spéciaux qui ont des propriétés importantes.
Proposition Propriété de l'identité additive
Ajouter \(0\) à n'importe quel nombre ne change pas ce nombre.
Pour tout nombre \(a\),$$0 + a = a \quad \text{et} \quad a + 0 = a.$$
Pour tout nombre \(a\),$$0 + a = a \quad \text{et} \quad a + 0 = a.$$
Exemple
\(7 + 0 = 7\)
Proposition Propriété de l'identité multiplicative
Multiplier n'importe quel nombre par \(1\) ne change pas ce nombre.
Pour tout nombre \(a\),$$1 \times a = a \quad \text{et} \quad a \times 1 = a.$$
Pour tout nombre \(a\),$$1 \times a = a \quad \text{et} \quad a \times 1 = a.$$
Exemple
\(1 \times 7 = 7\)
- Multiplier par \(0\) :
- Le produit de n'importe quel nombre et de \(0\) est toujours \(0\).
- Par exemple, \(5 \times 0 = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0\).
- Diviser par \(0\) :
- La division par \(0\) est indéfinie en mathématiques car cela conduit à une contradiction.
- Par exemple, si on suppose \(a = 5 \div 0\), alors \(a \times 0 = 5\). Mais c'est impossible car \(a \times 0\) est toujours \(0\), et non \(5\).
Proposition Multiplication par 0
Pour n'importe quel nombre \(a\),$$a \times 0 = 0 \quad \text{et} \quad 0 \times a = 0.$$
Proposition Division par 0
Pour tout nombre \(a\), la division \(a \div 0\) est indéfinie.
Division avec reste
Theorem Division avec reste
Pour tout entier \(\textcolor{olive}{a}\) et tout entier non nul \(\textcolor{colordef}{b}\), il existe des entiers uniques \(\textcolor{colorprop}{q}\) et \(\textcolor{orange}{r}\) tels que$$\textcolor{olive}{a} = \textcolor{colordef}{b} \times \textcolor{colorprop}{q} + \textcolor{orange}{r} \quad \text{avec} \quad 0 \leq \textcolor{orange}{r} < \textcolor{colordef}{b}.$$
- \(\textcolor{olive}{a}\) est le \(\textcolor{olive}{\text{dividende}}\) (le nombre à partager),
- \(\textcolor{colordef}{b}\) est le \(\textcolor{colordef}{\text{diviseur}}\) (le nombre par lequel on divise / le nombre de groupes),
- \(\textcolor{colorprop}{q}\) est le \(\textcolor{colorprop}{\text{quotient}}\) (la taille de chaque groupe),
- \(\textcolor{orange}{r}\) est le \(\textcolor{orange}{\text{reste}}\).
Exemple
$$\begin{array}{ccccccccl} \textcolor{olive}{13} &=& \textcolor{colordef}{3} & \times & \textcolor{colorprop}{4} & + & \textcolor{orange}{1} & \text{avec} & 0 \leq\textcolor{orange}{1} < \textcolor{colordef}{3} \\
\textcolor{olive}{\text{Dividende}} &=& \textcolor{colordef}{\text{Diviseur}} & \times & \textcolor{colorprop}{\text{Quotient}} & + & \textcolor{orange}{\text{Reste}} & \text{avec} & 0 \leq\textcolor{orange}{\text{Reste}} < \textcolor{colordef}{\text{Diviseur}}\end{array}$$
Divisibilité
Définition Relations de divisibilité
On dit qu'un entier naturel non nul \(b\) divise un entier naturel \(a\) si \(a\) peut être obtenu en multipliant \(b\) par un autre entier \(k\) :$$ a = k \times b $$En d'autres termes, le nombre \(a\) apparaît dans la table de multiplication de \(b\).
Nous pouvons également utiliser les formulations suivantes :
Nous pouvons également utiliser les formulations suivantes :
- \(b\) est un diviseur de \(a\)
- \(b\) est un facteur de \(a\)
- \(a\) est divisible par \(b\)
- \(a\) est un multiple de \(b\)
Exemple
Considérons les nombres \(10\) et \(5\).
Puisque nous pouvons écrire \(\textcolor{olive}{10} = \textcolor{colorprop}{2} \times \textcolor{colordef}{5}\), nous pouvons dire que :
Puisque nous pouvons écrire \(\textcolor{olive}{10} = \textcolor{colorprop}{2} \times \textcolor{colordef}{5}\), nous pouvons dire que :
- \(\textcolor{colordef}{5}\) divise \(\textcolor{olive}{10}\).
- \(\textcolor{colordef}{5}\) est un diviseur (ou facteur) de \(\textcolor{olive}{10}\).
- \(\textcolor{olive}{10}\) est divisible par \(\textcolor{colordef}{5}\).
- \(\textcolor{olive}{10}\) est un multiple de \(\textcolor{colordef}{5}\).
Méthode Vérifier la divisibilité
Pour vérifier si un nombre \(a\) est divisible par un nombre \(b\), effectuer la division euclidienne de \(a\) par \(b\).
- Si le reste est zéro, alors \(a\) est divisible par \(b\).
- Si le reste n'est pas zéro, alors \(a\) n'est pas divisible par \(b\).
Exemple
\(13\) est-il divisible par \(5\) ?
Nous effectuons la division de \(13\) par \(5\) :$$\textcolor{olive}{13} = \textcolor{colordef}{5} \times \textcolor{colorprop}{2} + \textcolor{orange}{3}$$Le reste est \(\textcolor{orange}{3}\) (ce n'est pas zéro). Par conséquent, \(\textcolor{olive}{13}\) n'est pas divisible par \(\textcolor{colordef}{5}\).
Critères de divisibilité
Les critères de divisibilité sont des méthodes rapides pour déterminer si un nombre entier est divisible par un autre, sans effectuer de division longue. Ces règles sont utiles pour simplifier les calculs et mieux comprendre les propriétés des nombres. Voici quelques critères de divisibilité courants :
Proposition Critères de divisibilité pour 2 et 5
- Un nombre est divisible par \(2\) si son dernier chiffre est pair (\(0,2,4,6\) ou \(8\)).
- Un nombre est divisible par \(5\) si son dernier chiffre est \(0\) ou \(5\).
Exemple
Détermine si \(946\) est divisible par \(2\).
\(946\) est divisible par \(2\) car son dernier chiffre est \(6\), qui est pair.
Exemple
Détermine si \(947\) est divisible par \(5\).
\(947\) n'est pas divisible par \(5\) car son dernier chiffre est \(7\), qui n'est ni \(0\) ni \(5\).
Proposition Critères de divisibilité pour 3 et 9
- Un nombre est divisible par \(3\) si la somme de ses chiffres est divisible par \(3\).
- Un nombre est divisible par \(9\) si la somme de ses chiffres est divisible par \(9\).
Exemple
Détermine si \(948\) est divisible par \(3\).
\(948\) est divisible par \(3\) car la somme de ses chiffres, \(9 + 4 + 8 = 21\), est divisible par \(3\) (\(21 = 3 \times 7\)).
Exemple
Détermine si \(948\) est divisible par \(9\).
\(948\) n'est pas divisible par \(9\) car la somme de ses chiffres, \(9 + 4 + 8 = 21\), n'est pas divisible par \(9\) (\(21 = 9 \times 2 + 3\)).
Proposition Critères de divisibilité pour 4
Un nombre est divisible par \(4\) si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est divisible par \(4\).
Exemple
Détermine si \(917\) est divisible par \(4\).
\(917\) n'est pas divisible par \(4\) car le nombre formé par ses deux derniers chiffres, \(17\), n'est pas divisible par \(4\) (\(17 = 4 \times 4 + 1\)).
Démonstrations mathématiques avec les entiers
Méthode Prouver des propriétés sur les entiers
Pour prouver des propriétés sur les nombres entiers, on utilise des définitions algébriques formelles. Par exemple,
- Un entier est pair s'il peut s'écrire sous la forme \(2k\) (où \(k\) est un entier).
- Un entier est impair s'il peut s'écrire sous la forme \(2k+1\) (où \(k\) est un entier).
Exemple
Démontrer que le produit de deux entiers impairs est un entier impair.
Soient \(a\) et \(b\) deux entiers impairs.
Il existe des entiers \(k\) et \(m\) tels que \( a = 2k+1 \quad \text{et} \quad b = 2m+1\).$$\begin{aligned}ab &= (2k+1)(2m+1) \\ &= 4km + 2k + 2m + 1 \\ &= 2(2km + k + m) + 1\end{aligned}$$Puisque \((2km + k + m)\) est un entier, le produit \(ab\) est de la forme \(2(\text{entier}) + 1\).
Donc le produit \(ab\) est un entier impair.
Il existe des entiers \(k\) et \(m\) tels que \( a = 2k+1 \quad \text{et} \quad b = 2m+1\).$$\begin{aligned}ab &= (2k+1)(2m+1) \\ &= 4km + 2k + 2m + 1 \\ &= 2(2km + k + m) + 1\end{aligned}$$Puisque \((2km + k + m)\) est un entier, le produit \(ab\) est de la forme \(2(\text{entier}) + 1\).
Donc le produit \(ab\) est un entier impair.
Nombre premier
Définition Nombre premier
Un nombre premier est un nombre entier plus grand que \(1\) qui a seulement deux diviseurs différents : \(1\) et lui-même.
Un nombre entier plus grand que \(1\) qui n'est pas premier est appelé un nombre composé.
Un nombre entier plus grand que \(1\) qui n'est pas premier est appelé un nombre composé.
Exemple
Indique si \(6\) est un nombre premier.
Comme \(2 \times 3 = 6\), \(6\) n'est pas un nombre premier car il est divisible par \(2\) et \(3\), en plus de \(1\) et \(6\). Donc \(6\) est un nombre composé.
Exemple
Indique si \(5\) est un nombre premier.
\(5\) est un nombre premier car il n'est divisible (sans reste) que par \(1\) et par \(5\). On ne peut pas le diviser exactement par \(2\), \(3\) ou \(4\) (il y aurait un reste).
Proposition Premiers 25 nombres premiers
Voici la liste des 25 premiers nombres premiers :$$2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97$$
Factorisation en nombres premiers
Méthode Factorisation en nombres premiers
La factorisation en nombres premiers d'un nombre consiste à écrire ce nombre comme un produit uniquement de nombres premiers. En d'autres termes, il s'agit de trouver quels nombres premiers multipliés ensemble donnent le nombre de départ.
Exemple
Trouve la factorisation en nombres premiers de \(12\).
La factorisation en nombres premiers est \(12 = 2 \times 2 \times 3\).
L'ordre n'est pas important. Tu peux écrire \(12 = 3 \times 2 \times 2\).
La factorisation en nombres premiers n'est pas \(12 = 2 \times 6\) car \(6\) est un nombre composé.
L'ordre n'est pas important. Tu peux écrire \(12 = 3 \times 2 \times 2\).
La factorisation en nombres premiers n'est pas \(12 = 2 \times 6\) car \(6\) est un nombre composé.
Méthode Arbre de facteurs
La méthode de l'arbre de facteurs consiste à décomposer un nombre composé en facteurs plus petits, puis à continuer à décomposer ces facteurs jusqu'à ce qu'il ne reste plus que des facteurs premiers.
- Place le nombre en haut de l'arbre de facteurs.
- Vérifie si le nombre est premier.
- Si le nombre est premier : Entoure-le. Tu as terminé pour cette branche.
- Si le nombre est composé : Décompose-le en deux facteurs plus petits. Écris ces deux facteurs comme des branches en dessous du nombre. Répète l'étape 2 pour chacun de ces nouveaux facteurs.
- La factorisation en nombres premiers est le produit de tous les nombres premiers entourés dans l'arbre.
Exemple
Trouve une factorisation en nombres premiers de \(24\).
- Étape 1 :
- Étape 2 : \(24\) est un nombre composé. \(24 = 2 \times 12\).
- Étape 3 : \(12\) est un nombre composé. \(12 = 2 \times 6\).
- Étape 4 : \(6\) est un nombre composé. \(6 = 2 \times 3\).
Plus grand commun diviseur (PGCD)
Définition Plus grand commun diviseur (PGCD)
Le plus grand commun diviseur (PGCD) de deux (ou plusieurs) nombres entiers est le plus grand entier positif qui divise chacun de ces nombres exactement (avec un reste nul). On l'appelle aussi le plus grand facteur commun (PGFC).
On note en général le plus grand commun diviseur de \(a\) et \(b\) par \(PGCD(a,b)\).
On note en général le plus grand commun diviseur de \(a\) et \(b\) par \(PGCD(a,b)\).
Exemple
Trouve le PGCD de \(18\) et \(24\).
- Les diviseurs de \(18\) sont : \(1, 2, 3, \textcolor{olive}{6}, 9, 18\).
- Les diviseurs de \(24\) sont : \(1, 2, 3, 4, \textcolor{olive}{6}, 8, 12, 24\).
- Le plus grand commun diviseur est \(\textcolor{olive}{6}\), donc \(PGCD(18,24)=6\).
Méthode Trouver le PGCD avec la décomposition en facteurs premiers
- Écris la décomposition en facteurs premiers de chaque nombre.
- Repère les facteurs premiers qui apparaissent dans les deux décompositions, en prenant chaque facteur commun autant de fois qu’il apparaît dans chacun des nombres (c’est-à-dire avec la plus petite puissance).
- Multiplie ces facteurs communs pour obtenir le PGCD.
Exemple
Trouve le PGCD de \(18\) et \(24\) en utilisant la décomposition en facteurs premiers.
- \(18 = \boxed{2} \times \boxed{3} \times 3 = 2\times 3^2\)
- \(24 = \boxed{2}\times 2 \times 2 \times \boxed{3} = 2^3\times 3\)
- Facteurs premiers communs (avec les plus petites puissances) : \(\boxed{2}\) et \(\boxed{3}\).
- Donc, \(PGCD(18, 24) = 2 \times 3 = 6\).
Plus petit commun multiple (PPCM)
Définition Plus petit commun multiple (PPCM)
Le plus petit commun multiple (PPCM) de deux (ou plusieurs) nombres entiers est le plus petit entier positif qui est un multiple de chacun d'eux. On l'appelle aussi le plus petit multiple commun.
On note en général le plus petit commun multiple de \(a\) et \(b\) par \(PPCM(a,b)\).
On note en général le plus petit commun multiple de \(a\) et \(b\) par \(PPCM(a,b)\).
Exemple
Trouve le PPCM de \(8\) et \(12\).
- Les multiples de \(8\) sont : \(8, 16, \textcolor{olive}{24}, 32, 40, \ldots\)
- Les multiples de \(12\) sont : \(12, \textcolor{olive}{24}, 36, 48, \ldots\)
- Le plus petit commun multiple est \(\textcolor{olive}{24}\), donc \(PPCM(8,12)=24\).
Méthode Trouver le PPCM avec la décomposition en facteurs premiers
- Écris la décomposition en facteurs premiers de chaque nombre.
- Pour chaque facteur premier, prends la plus grande puissance qui apparaît dans l'un ou l'autre des nombres.
- Multiplie ces facteurs pour obtenir le PPCM.
Exemple
Trouve le PPCM de \(8\) et \(12\) en utilisant la décomposition en facteurs premiers.
- \(8 = 2 \times 2 \times 2 =2^3\)
- \(12 = 2 \times 2 \times 3 = 2^2 \times 3^1\)
- On prend les plus grandes puissances de chaque facteur premier : \(2^3\) et \(3^1\).
- Donc, \(PPCM(8, 12) = 2^3 \times 3^1 = 8 \times 3 = 24\).