Droites du plan
Vecteurs directeurs
Définition Vecteur directeur
On dit qu'un vecteur non nul \(\vec{u}\) est un vecteur directeur d'une droite \(d\) s'il existe deux points \(A\) et \(B\) distincts appartenant à la droite \(d\) tels que \(\Vect{u} = \Vect{AB}\).
Proposition Infinité de vecteurs directeurs
Une droite possède une infinité de vecteurs directeurs. Si \(\vec{u}\) est un vecteur directeur de \(d\), alors tout vecteur \(k\vec{u}\) (avec \(k \neq 0\)) est aussi un vecteur directeur de \(d\).
Définition Droite définie par un point et un vecteur
La droite \(d\) passant par \(A\) et de vecteur directeur \(\vec{u}\) est l'ensemble des points \(M\) tels que les vecteurs \(\Vect{AM}\) et \(\vec{u}\) soient colinéaires.$$\Vect{AM} = k\vec{u} \quad \text{avec } k \in \mathbb{R}$$
Proposition Critère de parallélisme
Soient \(d_1\) et \(d_2\) deux droites de vecteurs directeurs respectifs \(\vec{u}_1\) et \(\vec{u}_2\).
- \(d_1\) et \(d_2\) sont parallèles si et seulement si \(\vec{u}_1\) et \(\vec{u}_2\) sont colinéaires (\(\det(\vec{u}_1, \vec{u}_2) = 0\)).
- \(d_1\) et \(d_2\) sont sécantes si et seulement si \(\vec{u}_1\) et \(\vec{u}_2\) ne sont pas colinéaires (\(\det(\vec{u}_1, \vec{u}_2) \neq 0\)).
Équations cartésiennes
Définition Équation cartésienne
Toute droite \(d\) du plan admet une équation de la forme :$$\textcolor{olive}{a}x + \textcolor{olive}{b}y + \textcolor{olive}{c} = 0$$On dit que \(ax+by+c=0\) est une équation cartésienne de la droite \(d\).
Un vecteur directeur de cette droite est \(\vec{u}=\begin{pmatrix} \textcolor{olive}{-b} \\ \textcolor{olive}{a} \end{pmatrix}\).
Un vecteur directeur de cette droite est \(\vec{u}=\begin{pmatrix} \textcolor{olive}{-b} \\ \textcolor{olive}{a} \end{pmatrix}\).
Exemple
Détermine un vecteur directeur de la droite d'équation \(2x - 3y + 5 = 0\).
Ici \(a = 2\) et \(b = -3\). En utilisant \(\vec{u}=\begin{pmatrix} -b \\ a \end{pmatrix}\), on obtient $$\Vect{u}\begin{pmatrix} -(-3) \\
2 \end{pmatrix} = \Vect{u}\begin{pmatrix} 3 \\
2 \end{pmatrix}$$
Définition Forme Pente-Ordonnée à l'origine
La forme pente-ordonnée à l'origine de l'équation d'une droite est :$$y = mx + c$$où \(m\) est la pente (gradient) et \(c\) est l'ordonnée à l'origine.
- La pente \(m\) indique de combien \(y\) change lorsque \(x\) augmente de \(1\).
- L'ordonnée à l'origine \(c\) est la valeur de \(y\) lorsque \(x = 0\), c'est-à-dire le point où la droite coupe l'axe des \(y\).
Exemple
Proposition Équation réduite d'une droite
Toute droite du plan admet une unique équation réduite :
- Si la droite \(d\) n'est pas verticale (non parallèle à l'axe des ordonnées), son équation réduite est de la forme : \(\boldsymbol{y = mx + c}\).
- Si la droite \(d\) est verticale (parallèle à l'axe des ordonnées), son équation réduite est de la forme : \(\boldsymbol{x = k}\) (où \(k\) est une constante).
Proposition Formule de la pente
La pente d'une droite non verticale passant par deux points distincts \(A\left(\textcolor{colordef}{x_A}, \textcolor{colorprop}{y_A}\right)\) et \(B\left(\textcolor{colordef}{x_B}, \textcolor{colorprop}{y_B}\right)\) est donnée par la formule :$$\text{pente} = \frac{\textcolor{colorprop}{y_B}-\textcolor{colorprop}{y_A}}{\textcolor{colordef}{x_B}-\textcolor{colordef}{x_A}}, \quad \text{où } \textcolor{colordef}{x_A} \neq \textcolor{colordef}{x_B}$$L’ordre des points n’a pas d’importance, à condition de faire les soustractions au numérateur et au dénominateur dans le même ordre.
Exemple
Détermine la pente de la droite \(\LineFr{AB}\) pour \(A\left(\textcolor{colordef}{1}, \textcolor{colorprop}{2}\right)\) et \(B\left(\textcolor{colordef}{5}, \textcolor{colorprop}{4}\right)\).
Proposition Tableau récapitulatif
| Type de droite | Équation | Vecteur directeur |
| Non verticale | \(y = mx + p\) | \(\begin{pmatrix} 1 \\ m \end{pmatrix}\) |
| Verticale | \(x = c\) | \(\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) |
| Générale | \(ax + by + c = 0\) | \(\begin{pmatrix} -b \\ a \end{pmatrix}\) |
Intersection de deux droites et systèmes linéaires
Chercher l'intersection de deux droites \(d\) et \(d'\) dans le plan revient à chercher un point \(M(x;y)\) qui appartient aux deux droites simultanément. Ce problème est équivalent à la recherche des solutions d'un système de deux équations linéaires à deux inconnues.
Méthode Déterminer le point d'intersection
Pour déterminer le point d'intersection de deux droites non parallèles :
- Écrire les équations des deux droites sous forme de système : \(\begin{cases} ax + by + c = 0 \\ a'x + b'y + c' = 0 \end{cases}\)
- Résoudre le système par substitution ou par combinaison (élimination).
- Les valeurs \((x_0; y_0)\) obtenues sont les coordonnées du point d'intersection.
Exemple
Détermine le point d'intersection de la droite \(d\) d'équation \(x + y - 3 = 0\) et de la droite \(d'\) d'équation \(2x - y = 0\).
On résout le système : \((S) \begin{cases} x + y = 3 \\ y = 2x \end{cases}\)
En substituant \(y\) dans la première équation :$$\begin{aligned}x + (2x) &= 3 \\ 3x &= 3 \\ x &= 1\end{aligned}$$Puis, on trouve \(y = 2 \times 1 = 2\). Les droites se coupent au point \(\boldsymbol{A(1; 2)}\).
En substituant \(y\) dans la première équation :$$\begin{aligned}x + (2x) &= 3 \\ 3x &= 3 \\ x &= 1\end{aligned}$$Puis, on trouve \(y = 2 \times 1 = 2\). Les droites se coupent au point \(\boldsymbol{A(1; 2)}\).
Proposition Nombre de solutions
Soient \(\Vect{u}=\begin{pmatrix} -b \\ a \end{pmatrix}\) et \(\Vect{v}=\begin{pmatrix} -b' \\ a' \end{pmatrix}\) les vecteurs directeurs des droites \(d\) et \(d'\). Leur déterminant est \(\det(\vec{u}, \vec{v}) = ab' - a'b\).