Développement d'expressions algébriques
En algèbre, les expressions peuvent être écrites sous différentes formes. Une forme factorisée représente une expression comme un produit, tel que \(a(b+c)\). Une forme développée la représente comme une somme de termes, telle que \(ab+ac\).
Développer est le processus algébrique qui consiste à convertir une forme factorisée en une forme développée. Autrement dit, on enlève les parenthèses en multipliant le facteur extérieur par chaque terme à l'intérieur. C'est une compétence fondamentale utilisée pour simplifier des expressions et résoudre des équations.
Développer est le processus algébrique qui consiste à convertir une forme factorisée en une forme développée. Autrement dit, on enlève les parenthèses en multipliant le facteur extérieur par chaque terme à l'intérieur. C'est une compétence fondamentale utilisée pour simplifier des expressions et résoudre des équations.
Distributivité 1
Proposition Identités distributives
La multiplication est distributive par rapport à l'addition et à la soustraction :
- Addition :
- Soustraction :
Exemple
Montre que \(2(\ell + L) = 2\ell + 2L\).
Distributivité 2
Proposition Distributivité 2
Chaque terme de la première parenthèse multiplie chaque terme de la seconde. 
Exemple
Développe et simplifie \((x+4)(2x+2)\).
Différence de deux carrés
Proposition Différence de deux carrés
Cette identité s'appelle la différence de deux carrés :$$(\textcolor{colordef}{a}-\textcolor{colorprop}{b})(\textcolor{colordef}{a}+\textcolor{colorprop}{b}) =\textcolor{colordef}{a}^2-\textcolor{colorprop}{b}^2.$$
$$\begin{aligned}(a-b)(a+b) &= a(a+b)-b(a+b) &&\text{(propriété distributive)} \\
&= a^2+ab-ab-b^2 &&\text{(développer)} \\
&= a^2+\cancel{ab}-\cancel{ab}-b^2 && \\
&= a^2-b^2. &&\end{aligned}$$
Exemple
Développe et simplifie : \((x-3)(x+3)\).
$$\begin{aligned}(\textcolor{colordef}{x}-\textcolor{colorprop}{3})(\textcolor{colordef}{x}+\textcolor{colorprop}{3}) & = \textcolor{colordef}{x}^2-\textcolor{colorprop}{3}^2 \\
& = x^2-9.\end{aligned}$$Donc \((x-3)(x+3)=x^2-9\).
Formule du binôme
Proposition Formule du binôme
Le carré d'une somme et le carré d'une différence peuvent s'écrire :$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2 \quad\text{et}\quad (a-b)^2=a^2-2ab+b^2.$$
$$\begin{aligned}(a+b)^2 &= (a+b)(a+b) &&\text{(définition du carré)} \\
&= a(a+b)+b(a+b) &&\text{(propriété distributive)} \\
&= a^2+ab+ab+b^2 &&\text{(développer)} \\
&= a^2+2ab+b^2 &&\text{(regrouper les termes semblables)}.\end{aligned}$$De même,$$\begin{aligned}(a-b)^2 &= (a-b)(a-b) &&\text{(définition du carré)} \\
&= a(a-b)-b(a-b) &&\text{(propriété distributive)} \\
&= a^2-ab-ab+b^2 &&\text{(développer)} \\
&= a^2-2ab+b^2 &&\text{(regrouper les termes semblables)}.\end{aligned}$$
Exemple
Développe et simplifie \((x+2)^2\).
En utilisant la formule \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\) avec \(a=x\) et \(b=2\) :$$\begin{aligned}(\textcolor{colordef}{x}+\textcolor{colorprop}{2})^{2} &=\textcolor{colordef}{x}^{2}+2 \times \textcolor{colordef}{x} \times \textcolor{colorprop}{2}+\textcolor{colorprop}{2}^{2} \\
&=x^{2}+4 x+4.\end{aligned}$$Donc \((x+2)^2=x^2+4x+4\).