Intégration sur un segment

Missions

A) Continuité uniforme
1) Établir la continuité uniforme par la définition	Ex 1 Ex 2 Ex 3
2) Réfuter la continuité uniforme	Ex 4 Ex 5 Ex 6
3) Utiliser le théorème de Heine en pratique	Ex 7 Ex 8 Ex 9
B) Fonctions en escalier et continues par morceaux
4) Identifier les fonctions en escalier et continues par morceaux	Ex 10 Ex 11 Ex 12
5) Construire des subdivisions adaptées à une fonction	Ex 13 Ex 14 Ex 15
6) Utiliser la structure de sous-algèbre des fonctions continues par morceaux	Ex 16 Ex 17 Ex 18
7) Approcher une fonction continue par des fonctions en escalier	Les trois exercices de cette sous-section re-dérivent la construction du Théorème T2.1 (Approximation uniforme par fonctions en escalier) dans des cas concrets : un \(f\) linéaire, un \(f\) continu général sur \([0 \,;\, 1]\), et une variante préservant le signe. La technique de preuve --- Heine + partition uniforme + échantillonnage aux extrémités gauches --- est exactement la preuve de T2.1 dans le cas continu. Ex 19 Ex 20 Ex 21
C) Intégrale d'une fonction continue par morceaux
8) Calculer des intégrales avec parité\(\virgule\) périodicité\(\virgule\) Chasles	Ex 22 Ex 23 Ex 24
9) Établir des inégalités via positivité et croissance	Ex 25 Ex 26 Ex 27
10) Calculer la valeur moyenne d'une fonction continue par morceaux	Ex 28 Ex 29 Ex 30
D) Sommes de Riemann
11) Reconnaître une somme comme somme de Riemann	Ex 31 Ex 32 Ex 33
12) Calculer des limites par identification intégrale	Ex 34 Ex 35 Ex 36
13) Utiliser les sommes de Riemann pour borner une suite	Ex 37 Ex 38 Ex 39
E) Lien avec les primitives
14) Dériver une intégrale à borne mobile	Ex 40 Ex 41 Ex 42
15) Appliquer l'intégration par parties	Ex 43 Ex 44 Ex 45
16) Appliquer un changement de variable	Ex 46 Ex 47 Ex 48
F) Formules de Taylor globales
17) Écrire Taylor avec reste intégral	Ex 49 Ex 50 Ex 51
18) Borner une fonction par l'inégalité de Taylor-Lagrange	Ex 52 Ex 53 Ex 54
19) Démontrer des inégalités par Taylor	Ex 55 Ex 56 Ex 57

Cours
Chapitre

Exercices Correction
A) Continuité uniforme
    1) Établir la continuité uniforme par la définition Ex 1 Ex 2 Ex 3
    2) Réfuter la continuité uniforme Ex 4 Ex 5 Ex 6
    3) Utiliser le théorème de Heine en pratique Ex 7 Ex 8 Ex 9
B) Fonctions en escalier et continues par morceaux
    4) Identifier les fonctions en escalier et continues par morceaux Ex 10 Ex 11 Ex 12
    5) Construire des subdivisions adaptées à une fonction Ex 13 Ex 14 Ex 15
    6) Utiliser la structure de sous-algèbre des fonctions continues par morceaux Ex 16 Ex 17 Ex 18
    7) Approcher une fonction continue par des fonctions en escalier

Les trois exercices de cette sous-section re-dérivent la construction du Théorème T2.1 (Approximation uniforme par fonctions en escalier) dans des cas concrets : un \(f\) linéaire, un \(f\) continu général sur \([0 \,;\, 1]\), et une variante préservant le signe. La technique de preuve --- Heine + partition uniforme + échantillonnage aux extrémités gauches --- est exactement la preuve de T2.1 dans le cas continu.

Ex 19 Ex 20 Ex 21
C) Intégrale d'une fonction continue par morceaux
    8) Calculer des intégrales avec parité\(\virgule\) périodicité\(\virgule\) Chasles Ex 22 Ex 23 Ex 24
    9) Établir des inégalités via positivité et croissance Ex 25 Ex 26 Ex 27
    10) Calculer la valeur moyenne d'une fonction continue par morceaux Ex 28 Ex 29 Ex 30
D) Sommes de Riemann
    11) Reconnaître une somme comme somme de Riemann Ex 31 Ex 32 Ex 33
    12) Calculer des limites par identification intégrale Ex 34 Ex 35 Ex 36
    13) Utiliser les sommes de Riemann pour borner une suite Ex 37 Ex 38 Ex 39
E) Lien avec les primitives
    14) Dériver une intégrale à borne mobile Ex 40 Ex 41 Ex 42
    15) Appliquer l'intégration par parties Ex 43 Ex 44 Ex 45
    16) Appliquer un changement de variable Ex 46 Ex 47 Ex 48
F) Formules de Taylor globales
    17) Écrire Taylor avec reste intégral Ex 49 Ex 50 Ex 51
    18) Borner une fonction par l'inégalité de Taylor-Lagrange Ex 52 Ex 53 Ex 54
    19) Démontrer des inégalités par Taylor Ex 55 Ex 56 Ex 57

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