\( \definecolor{colordef}{RGB}{249,49,84} \definecolor{colorprop}{RGB}{18,102,241} \)

Théorie des ensembles

Définitions

Définition Ensemble
Un ensemble est une collection d'objets appelés éléments.
Nous listons ses éléments entre des accolades.
Exemple
Liste les éléments de l’ensemble \(E\), qui inclut toutes les issues possibles lorsque l'on lance un dé standard .

\(E=\{1,2,3,4,5,6\}=\{\),,,,,\(\}\).

Définition Élément
  • Un élément est un objet appartenant à un ensemble.
  • \(\in\) signifie « est un élément de » ou « appartient à ».
  • \(\notin\) signifie « n'est pas un élément de » ou « n'appartient pas à ».
Exemple
\(2\in \{1,2,3,4,5,6\}\) et \(7\notin \{1,2,3,4,5,6\}\).
Définition Ensembles égaux
Deux ensembles sont égaux s'ils possèdent exactement les mêmes éléments.
Exemple
Détermine si les ensembles \(\{2,6,4\}\) et \(\{2,4,6\}\) sont égaux.

Oui, les ensembles \(\{2,6,4\}\) et \(\{2,4,6\}\) sont égaux car ils contiennent les mêmes éléments : \(2\), \(4\) et \(6\).

Exemple
Détermine si les ensembles \(\{1,2,3\}\) et \(\{1,2,4\}\) sont égaux.

Non, les ensembles \(\{1,2,3\}\) et \(\{1,2,4\}\) ne sont pas égaux car l'élément \(3\) appartient à \(\{1,2,3\}\) mais pas à \(\{1,2,4\}\).

Définition Ensemble vide
L'ensemble vide est un ensemble sans aucun élément. Il est noté \(\{\}\) ou \(\emptyset\).

Couple

Définition Couple ordonné
Un couple ordonné, noté \((a, b)\) ou \(ab\), est un couple d’objets pour lequel l’ordre est important.
Exemple
Dans une course de relais, deux coureurs forment une équipe. Soient \(L\) Louis et \(H\) Hugo..
Le couple ordonné \((L, H)\) signifie que Louis court en premier et passe le témoin à Hugo.
Le couple ordonné \((H, L)\) signifie qu'Hugo court en premier et passe le témoin à Louis.
Ce sont deux ordres différents.

Sous-ensembles

Définition Sous-ensemble
Un ensemble \(A\) est un sous-ensemble d’un ensemble \(B\) si chaque élément de \(A\) est aussi dans \(B\). On note \(A \subseteq B\).
Exemple
Est-ce que \(A \subseteq B\) quand \(A = \{2, 4, 6\}\) et \(B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\) ?

Vérifie chaque élément : \(2\), \(4\) et \(6\) de \(A\) sont tous dans \(B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\). Puisque chaque élément de \(A\) est dans \(B\), \(A \subseteq B\).

Intersection et union

Définition Intersection
L’intersection de deux ensembles \(A\) et \(B\), notée \(A \cap B\), est l’ensemble des éléments qui sont à la fois dans \(A\) et dans \(B\).
Exemple
Quelle est l’intersection \(\{1, 2, 3\} \cap \{2, 3, 4\}\) ?

Pour l’intersection \(\cap\), on inclut tous les éléments communs : \(\textcolor{colorprop}{2}\) et \(\textcolor{olive}{3}\). Donc $$\{\textcolor{colordef}{1}, \textcolor{colorprop}{2}, \textcolor{olive}{3}\} \cap \{ \textcolor{colorprop}{2}, \textcolor{olive}{3},\textcolor{brown}{4}\} = \{\textcolor{colorprop}{2},\textcolor{olive}{3}\}$$

Définition Union
L’union de deux ensembles \(A\) et \(B\), notée \(A \cup B\), est l’ensemble de tous les éléments dans \(A\) ou dans \(B\) (ou dans les deux).
Exemple
Quelle est l’union \(\{1, 2, 3\} \cup \{2, 3, 4\}\) ?

Pour l'union \(\cup\), on inclut tous les éléments des deux ensembles sans répétition : \(\textcolor{colordef}{1}, \textcolor{colorprop}{2}, \textcolor{olive}{3},\textcolor{brown}{4}\). Donc, $$\{\textcolor{colordef}{1}, \textcolor{colorprop}{2}, \textcolor{olive}{3}\} \cup \{ \textcolor{colorprop}{2}, \textcolor{olive}{3},\textcolor{brown}{4}\} = \{\textcolor{colordef}{1}, \textcolor{colorprop}{2}, \textcolor{olive}{3},\textcolor{brown}{4}\}$$

Cardinal

Définition Cardinal
Le cardinal, noté \(\Cardfr{A}\), représente le nombre d'éléments de l'ensemble \(A\).
Exemple
\(\Cardfr{\{1,2,3,4,5,6\}}=6\)

Complémentaire

Définition Ensemble universel
L'ensemble universel est l'ensemble de tous les éléments considérés.
Définition Complémentaire
Le complémentaire d'un ensemble \(A\), noté \(A'\), contient tous les éléments de l'ensemble universel \(U\) qui ne sont pas dans \(A\). Les ensembles \(A\) et \(A'\) sont dits complémentaires.
Exemple
Étant donné l’univers \(U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\) et l’ensemble \(A = \{1, 3, 5\}\), trouve le complémentaire \(A'\).

Commence par l’univers \(U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\).
L’ensemble \(A = \{1, 3, 5\}\) inclut 1, 3 et 5.
Le complémentaire \(A'\) regroupe tous les éléments de \(U\) qui ne sont pas dans \(A\) :
$$A' = \{2, 4, 6\}$$

Diagrammes de Venn

Définition Diagramme de Venn
Un diagramme de Venn utilise un rectangle pour représenter l’ensemble universel \(U\) et des cercles pour les autres ensembles à l’intérieur.
Exemple
Voici un diagramme de Venn pour \(U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\) et \(A = \{1, 3, 5\}\) :
Définition Concepts clés des diagrammes de Venn
Ce tableau montre les opérations courantes sur les ensembles et leurs diagrammes de Venn :
Notation Signification Diagramme de Venn
\(A\) Ensemble \(A\)
\(A'\) Complément de \(A\) (tout dans \(U\) sauf \(A\))
\(A \subseteq B\) \(A\) est un sous-ensemble de \(B\)
\(A \cup B\) Union de \(A\) et \(B\) (tous les éléments de \(A\) ou de \(B\))
\(A \cap B\) Intersection de \(A\) et \(B\) (éléments dans les deux)
\(A \cap B = \emptyset\) \(A\) et \(B\) sont disjoints (aucun élément commun)
Les diagrammes de Venn aident à résoudre des problèmes en indiquant le nombre d’éléments dans chaque région.
Définition Compter les éléments
Dans un diagramme de Venn, on utilise des parenthèses autour des nombres pour montrer combien d’éléments se trouvent dans chaque région.
Exemple
Considère ce diagramme de Venn :
Ici, il y a 6 éléments dans \(A\cap B\), 4 dans \(A\) seulement, 5 dans \(B\) seulement, et 1 hors des deux. Au total, \(A\) a \(4 + 6 = 10\) éléments, \(B\) a \(6 + 5 = 11\) éléments.