Théorème de Pythagore

L’un des concepts mathématiques les plus anciens et les plus célèbres est le théorème de Pythagore. Il porte le nom du mathématicien grec de l’Antiquité Pythagore et établit une relation fondamentale entre les côtés d’un triangle rectangle.

Triangle rectangle

Définition Triangle rectangle

Un triangle rectangle est un triangle qui possède un angle droit (90°).

Les deux côtés qui forment l'angle droit sont appelés les côtés de l’angle droit.
Le côté le plus long, opposé à l’angle droit, est appelé l’hypoténuse.

Théorème de Pythagore

Theorem Théorème de Pythagore

Pour tout triangle rectangle dont les côtés de l’angle droit ont pour longueurs $\textcolor{colordef}{a}$ et $\textcolor{colorprop}{b}$ et dont l’hypoténuse a pour longueur $\textcolor{olive}{c}$, le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des côtés de l’angle droit :$$ \textcolor{colordef}{a^2} + \textcolor{colorprop}{b^2} = \textcolor{olive}{c^2}. $$Cela signifie que l’aire du carré construit sur l’hypoténuse est égale à la somme des aires des carrés construits sur les deux autres côtés.

Preuve

La preuve géométrique repose sur la réorganisation de quatre triangles rectangles identiques à l’intérieur d’un carré de côté $a + b$.
1. Dans la première disposition, les quatre triangles rectangles forment un carré plus petit au centre du grand carré :
2. Dans la seconde disposition, les quatre triangles rectangles forment deux carrés plus petits à l’intérieur du grand carré :
3. Puisque l’aire non couverte par les triangles est égale dans les deux dispositions, on a :$$a^2 + b^2 = c^2.$$
Preuve algébrique : en utilisant quatre copies du même triangle disposées symétriquement autour d’un carré central de côté $c$, à l’intérieur d’un grand carré de côté $a + b$ :Le grand carré a pour côté $a + b$, donc pour aire $(a + b)^2$. Les quatre triangles et le carré central de côté $c$ ont la même aire totale que le grand carré :$$\begin{aligned}(a + b)^2 &= \overbrace{c^2}^{\text{aire du carré central}} + 4 \times \overbrace{\frac{ab}{2}}^{\text{aire d’un triangle}} \\ a^2 + 2ab + b^2 &= c^2 + 2ab \\ a^2 + b^2 &= c^2.\end{aligned}$$

$$\begin{aligned}\textcolor{colordef}{4^2} + \textcolor{colorprop}{3^2} &= \textcolor{olive}{5^2} \\ \textcolor{colordef}{16} + \textcolor{colorprop}{9} &= \textcolor{olive}{25}\end{aligned}$$Cette illustration fournit une représentation visuelle du théorème de Pythagore.

Exemple

Trouve la longueur de l’hypoténuse, $x$.

Correction

D'après le théorème de Pythagore :$$ \begin{aligned} a^2 + b^2 &= c^2 \\ 3^2 + 5^2 &= x^2 \\ 9 + 25 &= x^2 \\ 34 &= x^2 \\ x &= \sqrt{34} \, \text{cm}\end{aligned} $$L’hypoténuse mesure $\sqrt{34}$ cm (environ 5,83 cm).

Exemple

Trouve la longueur de $y$.

Correction

D'après le théorème de Pythagore, avec $c = 13$ l’hypoténuse :$$ \begin{aligned} a^2 + b^2 &= c^2 \\ y^2 + 5^2 &= 13^2 \\ y^2 + 25 &= 169 \\ y^2 &= 169 - 25 \\ y^2 &= 144 \\ y &= \sqrt{144} = 12 \, \text{m}\end{aligned} $$Le côté inconnu $y$ mesure donc 12 m.

Vérifier si un triangle est rectangle

Theorem Réciproque du théorème de Pythagore

Si un triangle a des côtés de longueurs $a$, $b$ et $c$, où $c$ est le côté le plus long, et que ces longueurs vérifient $a^2 + b^2 = c^2$, alors le triangle est un triangle rectangle, et l'angle droit est opposé au côté le plus long, $c$.

Exemple

Un triangle avec des côtés de longueurs 5 cm, 12 cm et 13 cm est-il rectangle ?

Correction

Nous vérifions si la somme des carrés des deux côtés les plus courts est égale au carré du côté le plus long. Le plus long côté mesure 13 cm.

$ 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 $
$ 13^2 = 169 $

Puisque $5^2 + 12^2 = 13^2$, le triangle est rectangle d’après la réciproque du théorème de Pythagore.

Theorem Contraposée du théorème de Pythagore

Si un triangle a des côtés de longueurs $a$, $b$ et $c$, où $c$ est le côté le plus long, et que la somme des carrés des deux côtés les plus courts n'est pas égale au carré du côté le plus long ($a^2 + b^2 \neq c^2$), alors le triangle n'est pas un triangle rectangle.

Preuve

Ce théorème est la contraposée du théorème de Pythagore. Comme une affirmation et sa contraposée sont logiquement équivalentes, la contraposée est elle aussi vraie.

Exemple

Un triangle avec des côtés de longueurs 5, 8 et 9 est-il rectangle ?

Correction

Les deux côtés les plus courts mesurent 5 et 8, et le côté le plus long mesure 9.$$ 5^2 + 8^2 = 25 + 64 = 89 $$$$ 9^2 = 81 $$Puisque $89 \neq 81$, le triangle n'est pas rectangle d'après la contraposée du théorème de Pythagore.