\( \definecolor{colordef}{RGB}{249,49,84} \definecolor{colorprop}{RGB}{18,102,241} \)

Probabilité

Tu t’es déjà demandé s’il allait pleuvoir demain ou si tu allais gagner à un jeu ? C’est ça, la probabilité ! C’est une façon mathématique de mesurer à quel point il est probable qu’un événement se produise.

Algèbre des événements

Univers

Définition Issue
Une issue est un résultat possible d’une expérience aléatoire.
Exemple
Quelles sont toutes les issues possibles quand tu lances une pièce ?

Les issues sont Face (F) = et Pile (P) = .

Exemple
Quelles sont les issues quand tu lances un dé à six faces ?

Les issues sont\(1 = \),\(2 = \),\(3 = \),\(4 = \),\(5 = \)et \(6 = \).

Définition Univers
L'univers est l'ensemble de toutes les issues possibles d’une expérience aléatoire.
Exemple
Quel est l’univers quand tu lances une pièce ?

L'univers est \(\{\text{Face}, \text{Pile}\} = \{\),\(\}\), ou simplement \(\{\text{F}, \text{P}\}\).

Exemple
Quel est l’univers quand tu lances un dé à six faces ?

L'univers est \(\{1, 2, 3, 4, 5, 6\} = \{\),,,,,\(\}\).

Événements

Une fois que nous connaissons toutes les issues possibles d'une expérience (l'univers), nous pouvons nous concentrer sur les issues spécifiques qui nous intéressent. Un événement est un ensemble d’issues (il peut contenir une issue, plusieurs issues, ou même aucune).
Définition Événement
Un événement (souvent noté par une lettre majuscule comme \(E\)) est un sous-ensemble de l'univers.
Exemple
Pour l'expérience du lancer d'un dé, énumère les issues de l'événement \(E\) : « obtenir un nombre pair ».

Parmi les issues de l'univers \(\{1, 2, 3, 4, 5, 6\} = \{\),,,,,\(\}\), l'événement « obtenir un nombre pair » est\(E = \{2, 4, 6\} = \{\),,\(\}\).

Événements complémentaires

En probabilité, il est souvent utile de considérer les issues qui n'appartiennent pas à un événement spécifique. Cet ensemble des « autres » issues est appelé l'événement complémentaire. Il représente tout ce qui se trouve dans l'univers en dehors de l'événement initial. Le complémentaire d'un événement \(E\) est noté \(E'\).
Définition Événement complémentaire
L'événement complémentaire d'un événement \(E\), noté \(E'\), \(E^c\) ou \(\overline{E}\), est l'ensemble de toutes les issues de l'univers qui ne sont pas dans \(E\).
Exemple
Dans l'expérience du lancer d'un dé équilibré à six faces, soit \(E\) l'événement « obtenir un nombre pair ». Détermine l'événement complémentaire, \(E'\).

L'univers est \(\{1, 2, 3, 4, 5, 6\} = \{\),,,,,\(\}\).
L'événement est \(E = \{2, 4, 6\} = \{\),,\(\}\).
L'événement complémentaire \(E'\) contient toutes les issues de l'univers qui ne sont pas dans \(E\).
Par conséquent, \(E' = \{1, 3, 5\} = \{\),,\(\}\). C'est l'événement « obtenir un nombre impair ».

Expériences aléatoires à plusieurs étapes

Une expérience aléatoire à plusieurs étapes est composée d'une séquence de deux ou plusieurs expériences simples. Par exemple, lancer deux pièces de monnaie est une expérience à plusieurs étapes composée de deux actions : lancer la première pièce, puis lancer la seconde.
Dans de nombreuses expériences à plusieurs étapes, on peut trouver le nombre total d'issues possibles en multipliant entre eux les nombres d'issues de chaque étape. Pour représenter toutes les issues combinées, on peut utiliser des outils comme des listes, des tableaux ou des diagrammes en arbre.
Méthode Représentations des univers pour les expériences à plusieurs étapes
Lorsqu'une expérience comporte plusieurs étapes, l'univers peut être représenté de plusieurs manières :
  • en listant toutes les issues ordonnées possibles ;
  • en utilisant un tableau (idéal pour les expériences à deux étapes) ;
  • en utilisant un diagramme en arbre (utile pour n'importe quel nombre d'étapes).
Exemple
Pour l'expérience consistant à lancer deux pièces, représente l'univers en :
  1. listant toutes les issues possibles ;
  2. utilisant un tableau ;
  3. utilisant un diagramme en arbre.

  1. Liste :
    Chaque issue indique d'abord le résultat de la pièce 1, puis celui de la pièce 2 :$$\{\textcolor{colordef}{P}\textcolor{colorprop}{P}, \textcolor{colordef}{P}\textcolor{colorprop}{F}, \textcolor{colordef}{F}\textcolor{colorprop}{P}, \textcolor{colordef}{F}\textcolor{colorprop}{F}\}$$
  2. Tableau :
    \(\begin{aligned} & \textcolor{colorprop}{\text{pièce 2}} \\ \textcolor{colordef}{\text{pièce 1}} \end{aligned} \) \(\textcolor{colorprop}{P}\) \(\textcolor{colorprop}{F}\)
    \(\textcolor{colordef}{P}\) \(\textcolor{colordef}{P}\textcolor{colorprop}{P}\) \(\textcolor{colordef}{P}\textcolor{colorprop}{F}\)
    \(\textcolor{colordef}{F}\) \(\textcolor{colordef}{F}\textcolor{colorprop}{P}\) \(\textcolor{colordef}{F}\textcolor{colorprop}{F}\)
  3. Diagramme en arbre :

Probabilité

Définition

Quand tu lances une pièce, il y a deux issues possibles : pile ou face. La chance d’obtenir face est 1 chance sur 2. On peut écrire cela sous forme de fraction :
Définition Probabilité
La probabilité d'un événement \(E\), notée \(P(E)\), est un nombre qui nous dit à quel point l'événement est susceptible de se produire. Elle est toujours comprise entre \(0\) (impossible) et \(1\) (certain). Autrement dit, pour tout événement \(E\), on a \(0 \leq P(E) \leq 1\).
Exemple
La probabilité d’un événement est \(P(\text{événement}) = \frac{1}{4}\). Représente cette probabilité sous forme de nombre décimal et de pourcentage.

  • Fraction : \( \frac{1}{4} \)
  • Nombre décimal : Pour convertir une fraction en nombre décimal, divise le numérateur par le dénominateur :$$ 1 \div 4 = 0{,}25 $$
  • Pourcentage : Pour convertir un nombre décimal en pourcentage, multiplie par 100 et ajoute le signe de pourcentage :$$ 0{,}25 = 0{,}25 \times 100\pourcent = 25\pourcent $$
Donc, une probabilité de \(\frac{1}{4}\) est la même chose que \(0{,}25\) ou \(25\pourcent\).

Équiprobabilité

As-tu déjà lancé une pièce bien équilibrée ou un dé bien équilibré ? Dans ces expériences, chaque issue a la même chance d’arriver. On parle alors d’issues équiprobables.
Définition Équiprobabilité
Lorsque toutes les issues de l'univers sont équiprobables, la probabilité d’un événement \(E\) est :$$P(E) = \frac{\text{nombre d’issues dans l’événement}}{\text{nombre d’issues dans l'univers}}$$
Exemple
Quelle est la probabilité d’obtenir un nombre pair avec un dé équilibré à six faces ?

  • Univers \(= \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\) (6 issues).
  • \(E = \{2, 4, 6\}\) (3 issues).
  • $$\begin{aligned}P(E) &= \frac{3}{6} \\ &= \frac{1}{2} \end{aligned}$$
Donc, il y a une chance sur deux (ou \(50\pourcent\)) d’obtenir un nombre pair !

Règle du complémentaire

S'il y a \(40\pourcent\) de chances qu'il pleuve demain, quelle est la chance qu'il ne pleuve pas ?
\(100\pourcent - 40\pourcent = 60\pourcent\)
Ce calcul est une application de la règle du complémentaire. C'est un raccourci pour trouver la probabilité qu'un événement n'arrive pas.
Proposition Règle du complémentaire
Pour tout événement \(E\) et son événement complémentaire \(E'\), la somme de leurs probabilités doit être égale à \(1\) (ou \(100\pourcent\)) :$$\textcolor{colorprop}{P(E) + P(E') = 1}$$Cela mène à la formule utile pour trouver la probabilité du complémentaire :$$\textcolor{colorprop}{P(E') = 1 - P(E)}$$
Exemple
Farid a une probabilité de \(0{,}8\) (\(80\pourcent\)) de finir ses devoirs à temps ce soir (événement \(E\)). Quelle est la probabilité qu’il ne finisse pas à temps ?

L’événement complémentaire \(E'\) est « Farid ne termine pas ses devoirs à temps ». En utilisant la règle du complémentaire :$$\begin{aligned}P(E') &= 1 - P(E) \\ &= 1 - 0{,}8 \\ &= 0{,}2\end{aligned}$$Il y a donc une probabilité de \(0{,}2\) (ou \(20\pourcent\)) qu’il ne finisse pas à temps.

Probabilité des événements indépendants

Les événements indépendants sont des événements pour lesquels le fait que l’un se produise ne modifie pas la probabilité que l’autre se produise. Par exemple, lorsqu’on lance deux dés équilibrés en même temps, le résultat du premier dé ne change pas les chances pour le deuxième dé : ce sont des événements indépendants.
Définition Événements indépendants
Si deux événements, \(A\) et \(B\), sont indépendants, la probabilité que les deux événements se produisent (c’est-à-dire \(P(A\cap B)\) ou \(P(A \text{ et } B)\)) est le produit de leurs probabilités individuelles. On parle alors de règle de multiplication pour des événements indépendants :$$P(A \text{ et } B) = P(A) \times P(B)$$
Exemple
Une expérience consiste en les deux actions indépendantes suivantes :
  1. Lancer une pièce de monnaie équilibrée.
  2. Lancer un dé équilibré à six faces.
Quelle est la probabilité d’obtenir Pile et un nombre strictement supérieur à 4 ?

Soit \(\text{Pile}\) l’événement « obtenir Pile » et \(N\) l’événement « obtenir un nombre strictement supérieur à 4 ».
  • Les événements sont indépendants, on peut donc utiliser la règle de multiplication.
  • La probabilité d’obtenir Pile est \(P(\text{Pile}) = \dfrac{1}{2}\).
  • Les issues pour un nombre strictement supérieur à 4 sont \(\{5, 6\}\). Il y a 2 issues favorables sur 6 issues au total. Donc, \(P(N) = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}\).
  • On multiplie les probabilités pour trouver la probabilité que les deux événements se produisent :$$\begin{aligned}P(\text{Pile} \text{ et } N) &= P(\text{Pile}) \times P(N) \\ &= \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{3} \\ &= \dfrac{1}{6}\end{aligned}$$
La probabilité d’obtenir Pile et un nombre strictement supérieur à 4 est donc de \(\dfrac{1}{6}\).

Méthode Utiliser un arbre de probabilité
  1. Dessinez les branches pour chaque étape : Dessinez les branches pour le premier événement (lancer de pièce), puis, à l’extrémité de chacune de ces branches, dessinez les branches pour le second événement (lancer de dé).
  2. Inscrivez les probabilités sur chaque branche : La somme des probabilités des branches partant d’un même point doit être égale à 1. Comme les événements sont indépendants, les probabilités des branches du lancer de dé sont les mêmes après « Face » et après « Pile ».
  3. Multipliez le long du chemin : Pour trouver la probabilité d’une issue combinée, multipliez les probabilités le long du chemin, du début à la fin.
    $$\textcolor{colorprop}{P(\text{"Pile" and "Nombre > 4"})=\frac{1}{2}\times \frac{1}{3}}$$

Probabilité expérimentale

Jusqu’à présent, nous avons calculé la probabilité théorique. C’est ce à quoi nous nous attendons en utilisant la logique. Par exemple, on s’attend à ce qu’une pièce tombe sur face la moitié du temps, donc on dit que \(P(\text{Face}) = \frac{1}{2}\).
Mais que faire si nous ne pouvons pas utiliser la logique ? Et si les issues ne sont pas équiprobables ? Dans ces cas-là, nous devons faire une expérience pour estimer la probabilité.

Isaac veut trouver la probabilité qu’un cône qu’il laisse tomber atterrisse sur sa base. Les issues sont « sur la base » ou « sur le côté ».
À cause de la forme du cône, ces issues ne sont pas équiprobables. Un calcul théorique simple n’est pas possible ; les issues ne sont pas symétriques, donc Isaac estime la probabilité à partir d’une expérience. Il lance le cône 50 fois (50 essais) et note les résultats :
  • Sur la base : 15 fois.
  • Sur le côté : 35 fois.
À partir de son expérience, Isaac peut estimer la probabilité. Le cône est tombé sur la base 15 fois sur 50 :$$ P(\text{sur la base}) \approx \frac{15}{50} = \frac{3}{10} $$Ce résultat obtenu par une expérience s’appelle la probabilité expérimentale ou la fréquence relative.

Définition Probabilité expérimentale (Fréquence relative)
La probabilité expérimentale d’un événement est une estimation que l’on trouve en répétant une expérience de nombreuses fois. On la calcule avec la formule :$$ \text{Probabilité expérimentale} = \frac{\text{Nombre de fois où un événement se produit}}{\text{Nombre total d’essais}} $$Plus on fait d’essais, meilleure sera notre estimation de la vraie probabilité.