Fonctions affines
De nombreuses situations dans le monde réel impliquent un taux de variation constant. Par exemple, le coût total de vos achats augmente du même montant pour chaque article que vous ajoutez, ou la distance que vous parcourez augmente de manière régulière lorsque vous vous déplacez à une vitesse constante. Ces relations peuvent être modélisées à l'aide d'un type de fonction très courant : la fonction affine.
Une fonction affine est une fonction dont la représentation graphique est une droite et dont le taux de variation est constant.
Une fonction affine est une fonction dont la représentation graphique est une droite et dont le taux de variation est constant.
Définition
Définition Fonction affine
Une fonction affine est une fonction qui peut s'écrire sous la forme :$$f(x) = ax + b$$où \(a\) et \(b\) sont des constantes (nombres réels) et \(x\) est la variable.
- La constante \(a\) est appelée le coefficient directeur (ou la pente). Elle représente le taux de variation constant de la fonction : de combien \(f(x)\) change lorsque \(x\) augmente de 1.
- La constante \(b\) est appelée l'ordonnée à l'origine. Elle représente la valeur initiale de la fonction, c'est-à-dire la valeur de \(f(0)\) lorsque \(x = 0\).
Exemple
L'accès à une piscine coûte un droit d'entrée fixe de 12 \(\Euro\), plus 5 \(\Euro\) par heure passée sur place. On note \(P(x)\) le prix total pour \(x\) heures à la piscine. Écris une formule pour \(P(x)\) en fonction de \(x\).
Le prix total, \(P(x)\), est la somme du droit d'entrée fixe et du coût variable, qui dépend du nombre d'heures, \(x\).
On peut écrire cela sous forme d'équation :$$ P(x) = (\text{Droit d'entrée fixe}) + (\text{Coût par heure}) \times (\text{Nombre d'heures}) $$En remplaçant par les valeurs de l'énoncé :$$\begin{aligned}[t]P(x) &= \underbrace{12}_{\text{Droit d'entrée fixe}} + \underbrace{5 \times x}_{\text{Coût pour } x \text{ heures}} \\ &= 12 + 5x\end{aligned}$$Par conséquent, la formule est \(\boldsymbol{P(x) = 5x + 12}\). C'est une fonction affine de coefficient directeur \(5\) et d'ordonnée à l'origine \(12\).
On peut écrire cela sous forme d'équation :$$ P(x) = (\text{Droit d'entrée fixe}) + (\text{Coût par heure}) \times (\text{Nombre d'heures}) $$En remplaçant par les valeurs de l'énoncé :$$\begin{aligned}[t]P(x) &= \underbrace{12}_{\text{Droit d'entrée fixe}} + \underbrace{5 \times x}_{\text{Coût pour } x \text{ heures}} \\ &= 12 + 5x\end{aligned}$$Par conséquent, la formule est \(\boldsymbol{P(x) = 5x + 12}\). C'est une fonction affine de coefficient directeur \(5\) et d'ordonnée à l'origine \(12\).
Représentation graphique
Proposition Représentation graphique
La représentation graphique d'une fonction affine \(f(x) = ax + b\) est une droite d'équation \(y = ax + b\).
- La droite coupe l'axe des ordonnées au point \((0, b)\) : c'est l'ordonnée à l'origine.
- La pente \(a\) est définie comme le rapport entre le déplacement vertical (\(\boldsymbol{\Delta y}\)) et le déplacement horizontal (\(\boldsymbol{\Delta x}\)) entre deux points quelconques de la droite :$$ a = \frac{\Delta y}{\Delta x}. $$Pour deux points \((x_1,y_1)\) et \((x_2,y_2)\) de la droite (avec \(x_1 \neq x_2\)), on peut écrire :$$ a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}. $$
Exemple
Pour la fonction \(f(x)=0,5x+1\), trace sa représentation graphique.
La fonction est \(f(x) = \dfrac{1}{2}x + 1\).
- Identifier l'ordonnée à l'origine : L'ordonnée à l'origine est \(b = 1\). On place donc un premier point en \((0,1)\).
- Utiliser la pente : La pente est \(a = \dfrac{1}{2}\). Cela signifie que$$ a = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{1}{2}, $$donc pour chaque déplacement horizontal de \(2\) unités vers la droite, on monte de \(1\) unité. Depuis \((0,1)\), on se déplace de \(2\) vers la droite et de \(1\) vers le haut pour trouver un deuxième point en \((2,2)\).
- Tracer la droite : Tracer une droite passant par ces deux points et la prolonger des deux côtés.