Similitude

Qu'est-ce qu'une similitude ?

Examine les rectangles ci-dessous. Bien que leurs tailles diffèrent, ils ont la même forme car les proportions des longueurs de leurs côtés sont identiques.

Lorsque $\textcolor{colordef}{A}$ est agrandi pour former $\textcolor{colorprop}{A'}$, les longueurs des côtés sont doublées. Le facteur d'échelle est $\textcolor{olive}{2}$.

Définition Similitude et agrandissement/réduction

Une similitude de rapport $k>0$ est une transformation qui multiplie toutes les distances par un même rapport $k$, appelé rapport (ou facteur d'échelle) de la similitude.

Si $k>1$, la similitude est un agrandissement.
Si $0 < k < 1$, la similitude est une réduction.
Si $k=1$, la similitude conserve toutes les distances (c’est une isométrie) et la figure a la même taille et la même forme.

Theorem Théorème des transformations fondamentales de similitude

Toute similitude peut s’écrire comme la composition d’une ou plusieurs transformations fondamentales (symétrie axiale, translation, rotation et homothétie).

Exemple

Le $\textcolor{colorprop}{L}$ bleu est similaire au $\textcolor{colordef}{L}$ rouge : c’est une réduction de ce dernier.

Le $\textcolor{colorprop}{L}$ bleu est l’image du $\textcolor{colordef}{L}$ rouge par une homothétie de rapport $0,5$ ($\textcolor{colordef}{L} \to \textcolor{olive}{L'}$) suivie d’une rotation ($\textcolor{olive}{L'} \to \textcolor{colorprop}{L}$).

Figures similaires

Définition Figures similaires

Deux figures sont similaires si l’une peut être obtenue à partir de l’autre par une similitude (agrandissement, réduction ou isométrie).

Découverte

La figure $F'$ est un agrandissement de la figure $F$ par un facteur d'échelle de $2$.

Les rapports des côtés correspondants sont :

$\dfrac{\textcolor{colorprop}{A'B'}}{\textcolor{colordef}{AB}} = \dfrac{2 \times 4~\text{cm}}{4~\text{cm}} = \textcolor{olive}{2}$
$\dfrac{\textcolor{colorprop}{A'C'}}{\textcolor{colordef}{AC}} = \dfrac{2 \times 3~\text{cm}}{3~\text{cm}} = \textcolor{olive}{2}$
$\dfrac{\textcolor{colorprop}{B'C'}}{\textcolor{colordef}{BC}} = \dfrac{2 \times 5~\text{cm}}{5~\text{cm}} = \textcolor{olive}{2}$

Ainsi, les rapports des côtés correspondants sont égaux au facteur d'échelle.

Proposition Propriétés des figures similaires

Pour les figures similaires :

Les rapports des longueurs des côtés correspondants sont tous égaux au même facteur d'échelle (ou rapport de similitude).
Les angles correspondants sont égaux.

Exemple

Les figures $\textcolor{colordef}{F}$ et $\textcolor{colorprop}{F'}$ sont similaires. Trouve $x$.

Correction

Les rapports des côtés correspondants sont égaux :$$\begin{aligned}\dfrac{\textcolor{colorprop}{A'C'}}{\textcolor{colordef}{AC}} &= \dfrac{\textcolor{colorprop}{A'B'}}{\textcolor{colordef}{AB}} \\ \dfrac{x}{3} &= \dfrac{5}{4} \\ x &= 3 \times \dfrac{5}{4} \\ x &= 3,75~\text{cm}\end{aligned}$$