Intérêts

Nous avons tous entendu parler des taux d’intérêt — par exemple pour un prêt immobilier, un crédit à la consommation ou un livret d’épargne. Mais que signifie réellement l’intérêt ?
L'intérêt correspond essentiellement au « loyer » que tu paies pour emprunter de l'argent. C'est le montant supplémentaire versé pour utiliser l'argent de quelqu'un d'autre pendant une certaine durée. Le pourcentage utilisé pour calculer ce montant supplémentaire chaque année s'appelle le taux d'intérêt.
Exemple d'intérêt :
Imagine que tu empruntes \(\dollar 100\) aujourd'hui et que tu t'engages à le rembourser dans un an. Si tu rends exactement \(\dollar 100\) après un an, il n'y a pas d'intérêt. Cependant, le prêteur peut demander une compensation pour t'avoir prêté cet argent.
Il peut réclamer un pourcentage du montant initial. Par exemple, avec un taux d'intérêt de \(10\pourcent\) par an, l'intérêt payé se calcule ainsi :$$\begin{aligned}\text{Intérêt payé} &= \text{Pourcentage du montant initial} \\ &= \text{Taux d'intérêt} \times \text{Montant initial} \\ &= 10\pourcent \times 100 \\ &= \frac{10}{100} \times 100 \\ &= 10~\text{dollars}\end{aligned}$$Ainsi, après un an, tu devras rembourser :$$\begin{aligned}\text{Montant après 1 an} &= \text{Montant initial} + \text{Intérêt payé} \\ &= 100 + 10 \\ &= 110~\text{dollars}\end{aligned}$$Dans cet exemple, tu rembourseras donc \(\dollar 110\) au lieu de \(\dollar 100\). Les \(\dollar 10\) supplémentaires représentent l'intérêt, c'est-à-dire le coût de l'emprunt pour une année.

Supposons que tu empruntes \(\dollar 100\) avec un taux d'intérêt de \(10\pourcent\) par an. Avec l'intérêt simple, l'intérêt est calculé uniquement sur le montant initial chaque année.

• \(\begin{aligned}[t]\text{Intérêt après 1 an} &= 10\pourcent \times 100 \\&= \frac{10}{100} \times 100 \\&= 10~\text{dollars}\end{aligned}\)
• \(\begin{aligned}[t]\text{Intérêt après 2 ans} &= 2 \times 10\pourcent \times 100 \\&= 2 \times \frac{10}{100} \times 100 \\&= 20~\text{dollars}\end{aligned}\)
• \(\begin{aligned}[t]\text{Intérêt après 3 ans} &= 3 \times 10\pourcent \times 100 \\&= 3 \times \frac{10}{100} \times 100 \\&= 30~\text{dollars}\end{aligned}\)

Ces observations mènent à la formule de l'intérêt simple :$$\text{Intérêt simple} = \text{Nombre d'années} \times \text{Taux d'intérêt} \times \text{Principal}$$

On écrit le taux sous forme décimale : \(3\pourcent = 0{,}03\).$$\begin{aligned}[t]I &= t \times r \times P \\ &=5 \times 0{,}03 \times 500 \\ &= 5 \times 15 \\ &= 75~\text{dollars}\end{aligned}$$Le montant final est :$$\begin{aligned}[t]A &= P + I\\ &= 500 + 75\\ &= 575~\text{dollars}\end{aligned}$$

Si tu laisses de l'argent à la banque pendant un certain temps, les intérêts gagnés sont automatiquement ajoutés à ton compte. Une fois ajoutés, ces intérêts commencent eux aussi à générer des intérêts lors de la période suivante. Ce processus s'appelle les intérêts composés.
Exemple d'intérêts composés :
\(1\,000\dollar\) sont placés sur un compte qui rapporte un intérêt de \(10\pourcent\) par an, et les intérêts sont capitalisés pendant trois ans. Cela signifie que le compte génère \(10\pourcent\) d'intérêts composés par an.
Nous pouvons illustrer cela dans un tableau :

Année	Montant	Intérêts gagnés
0	\(1\,000\dollar\)	\(10\pourcent\) de \(1\,000\dollar = 100\dollar\)
1	\(1\,000\dollar + 100\dollar = 1\,100\dollar\)	\(10\pourcent\) de \(1\,100\dollar = 110\dollar\)
2	\(1\,100\dollar + 110\dollar = 1\,210\dollar\)	\(10\pourcent\) de \(1\,210\dollar = 121\dollar\)
3	\(1\,210\dollar + 121\dollar = 1\,331\dollar\)	---

Après 3 ans, il y aura un total de \(1\,331\dollar\) sur le compte, ce qui signifie que tu as gagné \(331\dollar\) en intérêts composés.
On peut aussi calculer le montant final d'une autre façon :

• \(\begin{aligned}[t]\text{Montant après 1 an}&= \text{Montant initial} + \text{Intérêts sur le montant initial} \\&= \text{Montant initial} + \text{Taux d'intérêt} \times \text{Montant initial} \\&= 1\,000 + 0{,}1 \times 1\,000 \\&= 1\,000 \times (1 + 0{,}1) \\&= 1\,000 \times 1{,}1\end{aligned}\)
• \(\begin{aligned}[t]\text{Montant après 2 ans}&= \text{Montant après 1 an} + \text{Intérêts sur le montant après 1 an} \\&= \text{Montant après 1 an} + \text{Taux d'intérêt} \times \text{Montant après 1 an} \\&= 1\,000 \times 1{,}1 + 0{,}1 \times 1\,000 \times 1{,}1 \\&= 1\,000 \times 1{,}1 \times (1 + 0{,}1) \\&= 1\,000 \times 1{,}1^2\end{aligned}\)
• \(\begin{aligned}[t]\text{Montant après 3 ans}&= \text{Montant après 2 ans} + \text{Intérêts sur le montant après 2 ans} \\&= \text{Montant après 2 ans} + \text{Taux d'intérêt} \times \text{Montant après 2 ans} \\&= 1\,000 \times 1{,}1^2 + 0{,}1 \times 1\,000 \times 1{,}1^2 \\&= 1\,000 \times 1{,}1^2 \times (1 + 0{,}1) \\&= 1\,000 \times 1{,}1^3\end{aligned}\)

Ces observations mènent à la formule des intérêts composés (avec capitalisation une fois par an) :$$\text{Montant final} = \text{Montant initial} \times (1 + \text{taux d'intérêt})^{\text{nombre d'années}}$$où le taux d'intérêt est écrit sous forme décimale (par exemple \(10\pourcent = 0{,}10\)).

$$\begin{aligned}[t]A &= P (1 + r)^t \\ &= 500 \times (1 + 0{,}03)^5 \\ &= 500 \times 1{,}03^5 \\ &\approx 579{,}64\end{aligned}$$Le montant final est donc d'environ \(579{,}64\dollar\).