\( \definecolor{colordef}{RGB}{249,49,84} \definecolor{colorprop}{RGB}{18,102,241} \)

Puissances

Les puissances sont un moyen efficace d'exprimer une multiplication répétée. Elles nous aident à travailler plus facilement avec de grands nombres.

Exposants positifs


Imagine que tu as un échiquier. Tu places deux grains de blé sur la première case, quatre grains sur la deuxième case, huit grains sur la troisième case, et ainsi de suite, en doublant le nombre de grains sur chaque case suivante.
Combien de grains de blé y a-t-il sur la dernière case d'un échiquier de 64 cases ?

Numéro de la case Nombre de grains
\(1\) \(2\)
\(2\) \(2 \times 2\)
\(3\) \(2 \times 2 \times 2\)
\(\vdots\) \(\vdots\)
\(64\) \(\overbrace{2 \times 2 \times \dots \times 2}^{64\ \text{facteurs}}\)
Au lieu d'écrire \(\overbrace{2 \times 2 \times \dots \times 2}^{64\ \text{facteurs}}\), nous pouvons écrire ce produit sous la forme \(2^{64}\).
Cela signifie qu'il y a \(2^{64}\) grains sur la dernière case. Avec une calculatrice :$$2^{64}=18\,446\,744\,073\,709\,551\,616.$$C'est un nombre énorme !


Définition Puissance
La puissance d'un nombre est le résultat de la multiplication répétée de ce nombre par lui-même.
Pour un nombre \(a\) et un entier positif \(n\),$$a^n = \overbrace{a \times a \times \dots \times a}^{n\ \text{facteurs}}.$$
Exemple
Écris sous forme de puissance : \(5 \times 5 \times 5\).

\(5 \times 5 \times 5 = 5^3\)

Définition Vocabulaire
$$\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline\text{Valeur} & \text{Multiplication répétée} & \text{Puissance} & \text{À l'oral} \\ \hline2 & 2 & 2^1 & 2\ \text{ou}\ 2\ \text{puissance}\ 1 \\ 4 & 2 \times 2 & 2^2 & 2\ \text{au carré ou}\ 2\ \text{puissance}\ 2 \\ 8 & 2 \times 2 \times 2 & 2^3 & 2\ \text{au cube ou}\ 2\ \text{puissance}\ 3 \\ 16 & 2 \times 2 \times 2 \times 2 & 2^4 & 2\ \text{puissance}\ 4 \\ 32 & 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 & 2^5 & 2\ \text{puissance}\ 5 \\ \hline\end{array}$$
Exemple
Détermine la valeur de \(2^3\).

$$\begin{aligned}[t]2^3 &= 2 \times 2 \times 2 \\ &= 8\end{aligned}$$

Exposants négatifs


Pour comprendre les exposants négatifs, explorons le schéma de la multiplication par \(2\) :
À partir de ce schéma, on observe :
  • \(2^1 = 2\)
  • \(2^2 = 2 \times 2\)
  • \(2^3 = 2 \times 2 \times 2\)
Comme l'opération inverse de la multiplication est la division, nous pouvons diviser par \(2\) de manière répétée pour prolonger le schéma :
On constate alors :
  • \(2^0 = 1\)
  • \(2^{-1} = \dfrac{1}{2}\)
  • \(2^{-2} = \dfrac{1}{2 \times 2}\)
  • \(2^{-3} = \dfrac{1}{2 \times 2 \times 2}\)

Définition Puissance pour un exposant négatif
Pour un nombre non nul \(a\) et un entier positif non nul \(n\), on prolonge la définition de la puissance aux exposants négatifs en posant :$$\begin{aligned}[t]a^{-n} &= \dfrac{1}{\underbrace{a \times a \times \dots \times a}_{n\ \text{facteurs}}} \\ &= \dfrac{1}{a^n}\end{aligned} \qquad \text{et} \qquad a^0 = 1 \quad (a \neq 0).$$En particulier, \(a^{-1} = \dfrac{1}{a}\). Un exposant négatif signifie donc que l’on prend l’inverse de la puissance correspondante.
Exemple
Écris \(3^{-2}\) sous forme de fraction.

$$\begin{aligned}[t]3^{-2} &= \dfrac{1}{3 \times 3} \\ &= \dfrac{1}{9}\end{aligned}$$

Loi des exposants 1


$$\begin{aligned}\textcolor{colordef}{7}^{\textcolor{colorprop}{3}} \times \textcolor{colordef}{7}^{\textcolor{olive}{2}}&= \overbrace{\textcolor{colordef}{7} \times \textcolor{colordef}{7} \times \textcolor{colordef}{7}}^{\textcolor{colorprop}{3}\,\text{facteurs}} \times \overbrace{\textcolor{colordef}{7} \times \textcolor{colordef}{7}}^{\textcolor{olive}{2}\,\text{facteurs}} \\ &= \overbrace{\textcolor{colordef}{7} \times \textcolor{colordef}{7} \times \textcolor{colordef}{7} \times \textcolor{colordef}{7} \times \textcolor{colordef}{7}}^{\textcolor{colorprop}{3}+\textcolor{olive}{2}\,\text{facteurs}} \\ &= \textcolor{colordef}{7}^{\textcolor{colorprop}{3}+\textcolor{olive}{2}}\end{aligned}$$De manière générale, lorsque l’on multiplie un nombre \(\textcolor{colordef}{a}\) élevé à la puissance \(\textcolor{colorprop}{m}\) par ce même nombre élevé à la puissance \(\textcolor{olive}{n}\), c’est-à-dire$$\textcolor{colordef}{a}^{\textcolor{colorprop}{m}} \times \textcolor{colordef}{a}^{\textcolor{olive}{n}},$$le résultat est égal à \(\textcolor{colordef}{a}\) élevé à la somme des exposants :$$\textcolor{colordef}{a}^{\textcolor{colorprop}{m}} \times \textcolor{colordef}{a}^{\textcolor{olive}{n}} = \textcolor{colordef}{a}^{\textcolor{colorprop}{m}+\textcolor{olive}{n}}.$$

Proposition Loi des exposants 1
Pour \(a\neq 0\) et pour des nombres \(m\) et \(n\),$$\textcolor{colordef}{a}^{\textcolor{colorprop}{m}} \times \textcolor{colordef}{a}^{\textcolor{olive}{n}} = \textcolor{colordef}{a}^{\textcolor{colorprop}{m}+\textcolor{olive}{n}}$$

$$\begin{aligned}\textcolor{colordef}{a}^{\textcolor{colorprop}{m}} \times \textcolor{colordef}{a}^{\textcolor{olive}{n}}&= \overbrace{\textcolor{colordef}{a} \times \cdots \times \textcolor{colordef}{a}}^{\textcolor{colorprop}{m}\ \text{facteurs}} \times \overbrace{\textcolor{colordef}{a} \times \cdots \times \textcolor{colordef}{a}}^{\textcolor{olive}{n}\ \text{facteurs}} \\ &= \overbrace{\textcolor{colordef}{a} \times \cdots \times \textcolor{colordef}{a}}^{\textcolor{colorprop}{m}+\textcolor{olive}{n}\ \text{facteurs}} \\ &= \textcolor{colordef}{a}^{\textcolor{colorprop}{m}+\textcolor{olive}{n}}\end{aligned}$$

Exemple
Simplifie \(5^2\times 5^4\).

$$\begin{aligned}\textcolor{colordef}{5}^{\textcolor{colorprop}{2}} \times \textcolor{colordef}{5}^{\textcolor{olive}{4}}&= \textcolor{colordef}{5}^{\textcolor{colorprop}{2}+\textcolor{olive}{4}} && \text{(même base, on additionne les exposants)} \\ &= \textcolor{colordef}{5}^{6}.\end{aligned}$$

Loi des exposants 2


Regardons un exemple :$$\begin{aligned}\dfrac{\textcolor{colordef}{7}^{\textcolor{colorprop}{5}}}{\textcolor{colordef}{7}^{\textcolor{olive}{2}}}&= \dfrac{\overbrace{\cancel{\textcolor{colordef}{7}} \times \cancel{\textcolor{colordef}{7}} \times \textcolor{colordef}{7} \times \textcolor{colordef}{7} \times \textcolor{colordef}{7}}^{\textcolor{colorprop}{5}\,\text{facteurs}}} {\underbrace{\cancel{\textcolor{colordef}{7}} \times \cancel{\textcolor{colordef}{7}}}_{\textcolor{olive}{2}\,\text{facteurs}}}\\ &= \overbrace{\textcolor{colordef}{7} \times \textcolor{colordef}{7} \times \textcolor{colordef}{7}}^{\textcolor{colorprop}{5} - \textcolor{olive}{2}\,\text{facteurs}}\\ &= \textcolor{colordef}{7}^{\textcolor{colorprop}{5} - \textcolor{olive}{2}}\end{aligned}$$De manière générale, lorsqu'on divise un nombre \(\textcolor{colordef}{a}\) élevé à la puissance \(\textcolor{colorprop}{m}\) par ce même nombre élevé à la puissance \(\textcolor{olive}{n}\), c'est-à-dire :$$\dfrac{\textcolor{colordef}{a}^{\textcolor{colorprop}{m}}}{\textcolor{colordef}{a}^{\textcolor{olive}{n}}},$$le résultat est \(\textcolor{colordef}{a}\) élevé à la différence des exposants :$$\dfrac{\textcolor{colordef}{a}^{\textcolor{colorprop}{m}}}{\textcolor{colordef}{a}^{\textcolor{olive}{n}}}= \textcolor{colordef}{a}^{\textcolor{colorprop}{m} - \textcolor{olive}{n}}.$$

Proposition Loi des exposants 2
Pour \(a\neq 0\) et pour des nombres \(m\) et \(n\),$$\dfrac{\textcolor{colordef}{a}^{\textcolor{colorprop}{m}}}{\textcolor{colordef}{a}^{\textcolor{olive}{n}}}= \textcolor{colordef}{a}^{\textcolor{colorprop}{m} - \textcolor{olive}{n}}$$
Exemple
Simplifie \(\dfrac{5^7}{5^3}\).

$$\begin{aligned}\dfrac{\textcolor{colordef}{5}^{\textcolor{colorprop}{7}}}{\textcolor{colordef}{5}^{\textcolor{olive}{3}}}&= \textcolor{colordef}{5}^{\textcolor{colorprop}{7} - \textcolor{olive}{3}} \\ &= \textcolor{colordef}{5}^{4}\end{aligned}$$

Loi des exposants 3


Regardons un exemple :$$\begin{aligned}\left(\textcolor{colordef}{5}^{\textcolor{colorprop}{2}}\right)^{\textcolor{olive}{3}}&= (\overbrace{\textcolor{colordef}{5}\times \textcolor{colordef}{5}}^{\textcolor{colorprop}{2}\,\text{facteurs}})^{\textcolor{olive}{3}} \\ &= \overbrace{(\overbrace{\textcolor{colordef}{5}\times \textcolor{colordef}{5}}^{\textcolor{colorprop}{2}\,\text{facteurs}}) \times (\overbrace{\textcolor{colordef}{5}\times \textcolor{colordef}{5}}^{\textcolor{colorprop}{2}\,\text{facteurs}}) \times (\overbrace{\textcolor{colordef}{5}\times \textcolor{colordef}{5}}^{\textcolor{colorprop}{2}\,\text{facteurs}})}^{\textcolor{olive}{3}\,\text{facteurs}} \\ &= \textcolor{colordef}{5}^{\textcolor{colorprop}{2} + \textcolor{colorprop}{2} +\textcolor{colorprop}{2}}\\ &= \textcolor{colordef}{5}^{\textcolor{colorprop}{2} \times \textcolor{olive}{3}}\end{aligned}$$De manière générale, lorsqu'on élève un nombre \(\textcolor{colordef}{a}\) à la puissance \(\textcolor{colorprop}{m}\), puis qu'on élève ce résultat à la puissance \(\textcolor{olive}{n}\), c'est-à-dire$$\left(\textcolor{colordef}{a}^{\textcolor{colorprop}{m}}\right)^{\textcolor{olive}{n}},$$le résultat est \(\textcolor{colordef}{a}\) élevé au produit des exposants :$$\left(\textcolor{colordef}{a}^{\textcolor{colorprop}{m}}\right)^{\textcolor{olive}{n}}= \textcolor{colordef}{a}^{\textcolor{colorprop}{m} \times \textcolor{olive}{n}}.$$

Proposition Loi des exposants 3
Pour \(a\neq 0\) et pour des nombres \(m\) et \(n\),$$\left(\textcolor{colordef}{a}^{\textcolor{colorprop}{m}}\right)^{\textcolor{olive}{n}} = \textcolor{colordef}{a}^{\textcolor{colorprop}{m} \times \textcolor{olive}{n}}$$
Exemple
Simplifie \(\left(\textcolor{colordef}{5}^{\textcolor{colorprop}{2}}\right)^{\textcolor{olive}{5}}\).

$$\begin{aligned}[t]\left(\textcolor{colordef}{5}^{\textcolor{colorprop}{2}}\right)^{\textcolor{olive}{5}}&= \textcolor{colordef}{5}^{\textcolor{colorprop}{2} \times \textcolor{olive}{5}} \\ &= \textcolor{colordef}{5}^{10}\end{aligned}$$

Loi des exposants 4


Regardons un exemple :$$\begin{aligned}(\textcolor{colordef}{3} \times \textcolor{colorprop}{5})^{\textcolor{olive}{2}}&= (\textcolor{colordef}{3} \times \textcolor{colorprop}{5}) \times (\textcolor{colordef}{3} \times \textcolor{colorprop}{5}) \\ &= \textcolor{colordef}{3} \times \textcolor{colorprop}{5} \times \textcolor{colordef}{3} \times \textcolor{colorprop}{5} \\ &= (\textcolor{colordef}{3} \times \textcolor{colordef}{3}) \times (\textcolor{colorprop}{5} \times \textcolor{colorprop}{5}) \\ &= \textcolor{colordef}{3}^{\textcolor{olive}{2}}\, \textcolor{colorprop}{5}^{\textcolor{olive}{2}}\end{aligned}$$De manière générale, lorsqu'on multiplie deux nombres \(\textcolor{colordef}{a}\) et \(\textcolor{colorprop}{b}\), puis qu'on élève le produit à la puissance \(\textcolor{olive}{n}\), c'est-à-dire :$$(\textcolor{colordef}{a}\textcolor{colorprop}{b})^{\textcolor{olive}{n}},$$le résultat est que chaque facteur est élevé à la puissance \(\textcolor{olive}{n}\) :$$(\textcolor{colordef}{a}\textcolor{colorprop}{b})^{\textcolor{olive}{n}} = \textcolor{colordef}{a}^{\textcolor{olive}{n}}\, \textcolor{colorprop}{b}^{\textcolor{olive}{n}}.$$

Proposition Loi des exposants 4
Pour tout nombre \(n\) et pour tous nombres \(a\) et \(b\),$$(\textcolor{colordef}{a}\textcolor{colorprop}{b})^{\textcolor{olive}{n}} = \textcolor{colordef}{a}^{\textcolor{olive}{n}}\, \textcolor{colorprop}{b}^{\textcolor{olive}{n}}$$
Exemple
Simplifie \((\textcolor{colordef}{2}\times \textcolor{colorprop}{5})^{\textcolor{olive}{3}}\).

$$(\textcolor{colordef}{2}\times \textcolor{colorprop}{5})^{\textcolor{olive}{3}}= \textcolor{colordef}{2}^{\textcolor{olive}{3}}\, \textcolor{colorprop}{5}^{\textcolor{olive}{3}}$$

Loi des exposants 5


Regardons un exemple :$$\begin{aligned}\left(\dfrac{\textcolor{colordef}{5}}{\textcolor{colorprop}{3}}\right)^{\textcolor{olive}{2}}&= \left(\dfrac{\textcolor{colordef}{5}}{\textcolor{colorprop}{3}}\right) \times \left(\dfrac{\textcolor{colordef}{5}}{\textcolor{colorprop}{3}}\right) \\ &= \dfrac{\textcolor{colordef}{5} \times \textcolor{colordef}{5}}{\textcolor{colorprop}{3} \times \textcolor{colorprop}{3}} \\ &= \dfrac{\textcolor{colordef}{5}^{\textcolor{olive}{2}}}{\textcolor{colorprop}{3}^{\textcolor{olive}{2}}}\end{aligned}$$De manière générale, lorsqu'un quotient \(\dfrac{\textcolor{colordef}{a}}{\textcolor{colorprop}{b}}\) est élevé à une puissance \(\textcolor{olive}{n}\), c'est-à-dire :$$\left(\dfrac{\textcolor{colordef}{a}}{\textcolor{colorprop}{b}}\right)^{\textcolor{olive}{n}},$$le résultat est le numérateur élevé à cette puissance divisé par le dénominateur élevé à cette puissance :$$\left(\dfrac{\textcolor{colordef}{a}}{\textcolor{colorprop}{b}}\right)^{\textcolor{olive}{n}}= \dfrac{\textcolor{colordef}{a}^{\textcolor{olive}{n}}}{\textcolor{colorprop}{b}^{\textcolor{olive}{n}}}.$$

Proposition Loi des exposants 5
Pour \(b\neq 0\) et pour un nombre \(n\),$$\left(\dfrac{\textcolor{colordef}{a}}{\textcolor{colorprop}{b}}\right)^{\textcolor{olive}{n}}= \dfrac{\textcolor{colordef}{a}^{\textcolor{olive}{n}}}{\textcolor{colorprop}{b}^{\textcolor{olive}{n}}}$$
Exemple
Calcule \(\left(\dfrac{\textcolor{colordef}{5}}{\textcolor{colorprop}{3}}\right)^{\textcolor{olive}{2}}\).

$$\begin{aligned}[t]\left(\dfrac{\textcolor{colordef}{5}}{\textcolor{colorprop}{3}}\right)^{\textcolor{olive}{2}}&= \dfrac{\textcolor{colordef}{5}^{\textcolor{olive}{2}}}{\textcolor{colorprop}{3}^{\textcolor{olive}{2}}} \\ &= \dfrac{25}{9}\end{aligned}$$

Ordre des opérations

L'ordre des opérations est un ensemble de règles qui nous indique quelles opérations faire en premier dans une expression mathématique.
Définition Ordre des opérations
Pour résoudre les expressions mathématiques avec précision, nous suivons l'ordre des opérations, qui est souvent mémorisé à l'aide de l'acronyme PEMDAS :
  1. P : Parenthèses
  2. E : Exposants
  3. M : Multiplication
  4. D : Division
  5. A : Addition
  6. S : Soustraction
On commence par les opérations en haut de la liste.La multiplication et la division sont au même niveau : on les effectue de gauche à droite.L'addition et la soustraction sont aussi au même niveau : on les effectue de gauche à droite.
Exemple
Calcule \((1+2) \times 2^3 + 4\).

$$\begin{aligned}[t](1+2) \times 2^3 + 4 &= \textcolor{colordef}{(1+2)} \times 2^3 + 4 && (\text{parenthèses : } \textcolor{colordef}{(1+2)} = 3) \\ &= 3 \times \textcolor{colordef}{2^3} + 4 && (\text{exposant : } \textcolor{colordef}{2^3} = 8) \\ &= \textcolor{colordef}{3 \times 8} + 4 && (\text{multiplication : } \textcolor{colordef}{3 \times 8} = 24) \\ &= \textcolor{colordef}{24 + 4} && (\text{addition : } \textcolor{colordef}{24 + 4} = 28) \\ &= 28\end{aligned}$$