Résoudre des équations

Qu'est-ce qu'une équation ?

Bienvenue dans l'Escape Game de maths ! Ton équipe doit résoudre une dernière énigme pour trouver le code secret à un chiffre (un nombre entre $0$ et $9$) et s'échapper.
L'indice est une équation où le code est représenté par le symbole $\triangle$ :$$\triangle + 10 = 1 + 2 \times 6$$Tu n'as qu'une seule chance pour entrer le bon chiffre. Deux de tes coéquipiers proposent des réponses différentes :

Louis propose de saisir $\boxed{8}$.
Su propose de saisir $\boxed{3}$.

Qui a raison, et quel est le code secret ?

Correction

Pour trouver le bon code, nous testons chaque proposition pour voir quelle valeur de $\triangle$ rend l'équation vraie.
D'abord, simplifions le membre de droite de l'équation. On effectue d'abord la multiplication :$$1 + 2 \times 6 = 1 + 12 = 13.$$L'équation devient alors :$$\triangle + 10 = 13.$$

Teste le code de Louis : Remplace $\textcolor{colordef}{\triangle = 8}$ dans l'équation. $$ \begin{aligned} \textcolor{colordef}{8} + 10 &= 18 \\ 18 &= 13 &&\text{(Faux)} \end{aligned} $$ Le code de Louis est incorrect.
Teste le code de Su : Remplace $\textcolor{colordef}{\triangle = 3}$ dans l'équation. $$ \begin{aligned} \textcolor{colordef}{3} + 10 &= 13 \\ 13 &= 13 &&\text{(Vrai)} \end{aligned} $$ Le code de Su est correct.

Le code secret est $\triangle = 3$ car c'est la valeur qui rend l'équation vraie.

Définition Équation et Solution

Une équation est une phrase mathématique qui dit que deux expressions sont égales. Elle contient souvent une variable (ou inconnue), qui est un symbole (comme $x$ ou $\triangle$) représentant un nombre que nous ne connaissons pas encore.
Résoudre une équation signifie trouver toutes les valeurs de la variable qui rendent l'équation vraie. Chaque valeur trouvée est une solution de l'équation.

Exemple

Montre que $x = 2$ est une solution de l'équation $3 + x = 5$.

Correction

On remplace $\textcolor{colordef}{x = 2}$ dans l'équation et on vérifie si le membre de gauche est égal au membre de droite :$$\begin{aligned}3 + \textcolor{colordef}{(2)} &= 5 \\ 5 &= 5 &&\text{(C'est une affirmation vraie.)}\end{aligned}$$Comme l'égalité est vraie, $x = 2$ est une solution.

Exemple

Montre que $x = 1$ n'est pas une solution de $3 + x = 5$.

Correction

On remplace $\textcolor{colordef}{x = 1}$ dans l'équation :$$\begin{aligned}3 + \textcolor{colordef}{(1)} &= 5 \\ 4 &= 5 &&\text{(C'est une affirmation fausse.)}\end{aligned}$$Comme l'égalité est fausse, $x = 1$ n'est pas une solution.

Résolution par inspection et essais-erreurs

Méthode Essai-erreur

La méthode des essais-erreurs est une méthode de base pour résoudre un problème : on teste différentes valeurs pour la variable jusqu'à trouver celle qui rend l'équation vraie. Pour chaque valeur, on la remplace dans l'équation et on vérifie si le membre de gauche est égal au membre de droite.
Pour des équations simples, on peut parfois trouver la solution simplement en regardant l'équation. On parle alors de résolution par inspection.

Exemple

Considère l'équation $2x + 3 = 11$.
Utilise la méthode des essais-erreurs pour trouver la solution.

Correction

Nous testons différentes valeurs entières pour $x$ pour voir laquelle rend l'équation vraie.

Essai avec $\textcolor{colordef}{x = 2}$ : $$ \begin{aligned} 2 \times \textcolor{colordef}{(2)} + 3 &= 11 \quad &&\text{(Substituer)} \\ 4 + 3 &= 11 \\ 7 &= 11 \quad &&\text{(Faux)} \end{aligned} $$
Essai avec $\textcolor{colordef}{x = 3}$ : $$ \begin{aligned} 2 \times \textcolor{colordef}{(3)} + 3 &= 11 \quad &&\text{(Substituer)} \\ 6 + 3 &= 11 \\ 9 &= 11 \quad &&\text{(Faux)} \end{aligned} $$
Essai avec $\textcolor{colordef}{x = 4}$ : $$ \begin{aligned} 2 \times \textcolor{colordef}{(4)} + 3 &= 11 \quad &&\text{(Substituer)} \\ 8 + 3 &= 11 \\ 11 &= 11 \quad &&\text{(Vrai)} \end{aligned} $$

Donc, une solution de l'équation $2x + 3 = 11$ est $x = 4$.