Théorie des ensembles
Définitions
Définition Ensemble
Un ensemble est une collection d'objets appelés éléments.
Nous listons ses éléments entre des accolades.
Nous listons ses éléments entre des accolades.
Exemple
Liste les éléments de l’ensemble \(E\), qui inclut toutes les issues possibles lorsque l'on lance un dé standard 
.
.
\(E=\{1,2,3,4,5,6\}=\{\),
,
,
,
,
\(\}\).
,,,,,\(\}\).
Définition Élément
- Un élément est un objet appartenant à un ensemble.
- \(\in\) signifie « est un élément de » ou « appartient à ».
- \(\notin\) signifie « n'est pas un élément de » ou « n'appartient pas à ».
Exemple
\(2\in \{1,2,3,4,5,6\}\) et \(7\notin \{1,2,3,4,5,6\}\).
Définition Ensembles égaux
Deux ensembles sont égaux s'ils possèdent exactement les mêmes éléments.
Exemple
Détermine si les ensembles \(\{2,6,4\}\) et \(\{2,4,6\}\) sont égaux.
Oui, les ensembles \(\{2,6,4\}\) et \(\{2,4,6\}\) sont égaux car ils contiennent les mêmes éléments : \(2\), \(4\) et \(6\).
Exemple
Détermine si les ensembles \(\{1,2,3\}\) et \(\{1,2,4\}\) sont égaux.
Non, les ensembles \(\{1,2,3\}\) et \(\{1,2,4\}\) ne sont pas égaux car l'élément \(3\) appartient à \(\{1,2,3\}\) mais pas à \(\{1,2,4\}\).
Cardinal
Définition Cardinal
Le cardinal, noté \(\Cardfr{A}\), représente le nombre d'éléments de l'ensemble \(A\).
Exemple
\(\Cardfr{\{1,2,3,4,5,6\}}=6\) 
Complémentaire
Définition Ensemble universel
L'ensemble universel est l'ensemble de tous les éléments considérés.
Définition Complémentaire
Le complémentaire d'un ensemble \(A\), noté \(A'\), contient tous les éléments de l'ensemble universel \(U\) qui ne sont pas dans \(A\). Les ensembles \(A\) et \(A'\) sont dits complémentaires.
Exemple
Étant donné l’univers \(U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\) et l’ensemble \(A = \{1, 3, 5\}\), trouve le complémentaire \(A'\).
Commence par l’univers \(U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\).
L’ensemble \(A = \{1, 3, 5\}\) inclut 1, 3 et 5.
Le complémentaire \(A'\) regroupe tous les éléments de \(U\) qui ne sont pas dans \(A\) :
$$A' = \{2, 4, 6\}$$
L’ensemble \(A = \{1, 3, 5\}\) inclut 1, 3 et 5.
Le complémentaire \(A'\) regroupe tous les éléments de \(U\) qui ne sont pas dans \(A\) :
$$A' = \{2, 4, 6\}$$