\( \definecolor{colordef}{RGB}{249,49,84} \definecolor{colorprop}{RGB}{18,102,241} \)

Propriétés des quadrilatères

Classification des quadrilatères

Définition Quadrilatère
Un quadrilatère est un polygone à quatre côtés.
Définition Parallélogramme
Un parallélogramme est un quadrilatère dont les deux paires de côtés opposés sont parallèles.
Définition Carré
Un carré est un quadrilatère avec quatre angles droits et quatre côtés de même longueur.
Définition Rectangle
Un rectangle est un quadrilatère avec quatre angles droits.
Définition Losange
Un losange est un quadrilatère avec quatre côtés égaux.
Définition Trapèze
Un trapèze est un quadrilatère avec une paire de côtés opposés parallèles.

Propriétés

Proposition Propriétés d’un parallélogramme
  • Les côtés opposés sont de longueur égale.
  • Les angles opposés sont égaux.
  • Les angles adjacents sont supplémentaires (leur somme est égale à \(180^\circ\)).
  • Les diagonales se coupent en leur milieu (elles se bisectent mutuellement).
Proposition Propriétés d’un carré
  • Les côtés opposés sont parallèles.
  • Les diagonales se coupent en leur milieu, sont perpendiculaires et de longueur égale.
Proposition Propriétés d’un rectangle
  • Les côtés opposés sont de longueur égale.
  • Les côtés opposés sont parallèles.
  • Les diagonales se coupent en leur milieu et sont de longueur égale.
Proposition Propriétés d’un losange
  • Les côtés opposés sont parallèles.
  • Les angles opposés sont égaux.
  • Les angles adjacents sont supplémentaires (leur somme est égale à \(180^\circ\)).
  • Les diagonales se coupent en leur milieu et sont perpendiculaires.

Angles

Proposition Somme des Angles d’un Quadrilatère
La somme des angles d’un quadrilatère est de \(360^\circ\).

Nous divisons le quadrilatère \(ABCD\) en deux triangles, \(ABC\) et \(ACD\), en utilisant la diagonale \(AC\).
$$\begin{aligned}\text{La somme des angles du quadrilatère } ABCD&= \text{La somme des angles du } \triangle ABC \\ &\quad + \text{la somme des angles du } \triangle ACD \\ &= 180^\circ + 180^\circ \\ &= 360^\circ\end{aligned}$$

Exemple
Trouve l'angle inconnu \(x^\circ\).

La somme des angles d’un quadrilatère est de \(360^\circ\). Les trois angles connus sont \(60^\circ\), \(95^\circ\) et \(80^\circ\).$$\begin{aligned}x^\circ + 95^\circ + 80^\circ + 60^\circ &= 360^\circ \\ x^\circ + 235^\circ &= 360^\circ \quad &&\text{(on additionne les angles connus)} \\ x^\circ &= 360^\circ - 235^\circ \quad &&\text{(on soustrait \(235^\circ\) des deux côtés)} \\ x^\circ &= 125^\circ\end{aligned}$$