Probabilité
Tu t’es déjà demandé s’il allait pleuvoir demain ou si tu allais gagner à un jeu ? C’est ça, la probabilité ! C’est une façon mathématique de mesurer à quel point il est probable qu’un événement se produise.
Univers
Définition Issue
Une issue est un résultat possible d’une expérience aléatoire.
Exemple
Quelles sont toutes les issues possibles quand tu lances une pièce ? 
Les issues sont Face (F) = 
et Pile (P) = 
.
et Pile (P) = .
Exemple
Quelles sont les issues quand tu lances un dé à six faces ?
Les issues sont\(1 = \)
,\(2 = \)
,\(3 = \)
,\(4 = \)
,\(5 = \)
et \(6 = \)
.
,\(2 = \),\(3 = \),\(4 = \),\(5 = \)et \(6 = \).
Définition Univers
L'univers est l'ensemble de toutes les issues possibles d’une expérience aléatoire.
Exemple
Quel est l’univers quand tu lances une pièce ?
L'univers est \(\{\text{Face}, \text{Pile}\} = \{\),\(\}\), ou simplement \(\{\text{F}, \text{P}\}\).
,\(\}\), ou simplement \(\{\text{F}, \text{P}\}\).
Exemple
Quel est l’univers quand tu lances un dé à six faces ?
L'univers est \(\{1, 2, 3, 4, 5, 6\} = \{\),,,,,\(\}\).
,,,,,\(\}\).Événements
Une fois que nous connaissons toutes les issues possibles d'une expérience (l'univers), nous pouvons nous concentrer sur les issues spécifiques qui nous intéressent. Un événement est un ensemble d’issues (il peut contenir une issue, plusieurs issues, ou même aucune).
Définition Événement
Un événement (souvent noté par une lettre majuscule comme \(E\)) est un sous-ensemble de l'univers.
Exemple
Pour l'expérience du lancer d'un dé, énumère les issues de l'événement \(E\) : « obtenir un nombre pair ».
Parmi les issues de l'univers \(\{1, 2, 3, 4, 5, 6\} = \{\),,,,,\(\}\), l'événement « obtenir un nombre pair » est\(E = \{2, 4, 6\} = \{\),,\(\}\).
,,,,,\(\}\), l'événement « obtenir un nombre pair » est\(E = \{2, 4, 6\} = \{\),,\(\}\).Événements complémentaires
En probabilité, il est souvent utile de considérer les issues qui n'appartiennent pas à un événement spécifique. Cet ensemble des « autres » issues est appelé l'événement complémentaire. Il représente tout ce qui se trouve dans l'univers en dehors de l'événement initial. Le complémentaire d'un événement \(E\) est noté \(E'\).
Définition Événement complémentaire
L'événement complémentaire d'un événement \(E\), noté \(E'\), \(E^c\) ou \(\overline{E}\), est l'ensemble de toutes les issues de l'univers qui ne sont pas dans \(E\).
Exemple
Dans l'expérience du lancer d'un dé équilibré à six faces, soit \(E\) l'événement « obtenir un nombre pair ». Détermine l'événement complémentaire, \(E'\).
L'univers est \(\{1, 2, 3, 4, 5, 6\} = \{\),,,,,\(\}\).
L'événement est \(E = \{2, 4, 6\} = \{\),,\(\}\).
L'événement complémentaire \(E'\) contient toutes les issues de l'univers qui ne sont pas dans \(E\).
Par conséquent, \(E' = \{1, 3, 5\} = \{\),,\(\}\). C'est l'événement « obtenir un nombre impair ».
,,,,,\(\}\).L'événement est \(E = \{2, 4, 6\} = \{\)
,,\(\}\).L'événement complémentaire \(E'\) contient toutes les issues de l'univers qui ne sont pas dans \(E\).
Par conséquent, \(E' = \{1, 3, 5\} = \{\)
,,\(\}\). C'est l'événement « obtenir un nombre impair ».Utiliser des mots pour décrire la probabilité
On utilise des mots spéciaux pour décrire la chance qu’un événement se produise. On peut placer ces mots sur une ligne, du moins probable au plus probable.
Définition Droite de Probabilité
La chance nous indique à quel point un événement est susceptible d’arriver.
- Impossible : Cela ne peut pas arriver.
Exemple : Monter sur un dinosaure. - Peu probable : Cela n’arrivera probablement pas.
Exemple : Obtenir un 3 en lançant un dé. - Une chance sur deux : Cela a autant de chances d’arriver que de ne pas arriver.
Exemple : Obtenir face en lançant une pièce. - Très probable : Cela va probablement arriver.
Exemple : Boire de l’eau à l’école aujourd’hui. - Certain : Cela va forcément arriver.
Exemple : Le soleil va se lever demain matin.
Probabilité
Quand tu lances une pièce, il y a deux issues possibles : pile ou face. La chance d’obtenir face est 1 chance sur 2. On peut écrire cela sous forme de fraction :
Définition Probabilité
La probabilité d'un événement \(E\), notée \(P(E)\), est un nombre qui nous dit à quel point l'événement est susceptible de se produire. Elle est toujours comprise entre \(0\) (impossible) et \(1\) (certain). Autrement dit, pour tout événement \(E\), on a \(0 \leq P(E) \leq 1\).
Équiprobabilité
As-tu déjà lancé une pièce bien équilibrée ou un dé bien équilibré ? Dans ces expériences, chaque issue a la même chance d’arriver. On parle alors d’issues équiprobables.
Définition Équiprobabilité
Lorsque toutes les issues de l'univers sont équiprobables, la probabilité d’un événement \(E\) est :$$P(E) = \frac{\text{nombre d’issues dans l’événement}}{\text{nombre d’issues dans l'univers}}$$
Exemple
Quelle est la probabilité d’obtenir un nombre pair avec un dé équilibré à six faces ?
- Univers \(= \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\) (6 issues).
- \(E = \{2, 4, 6\}\) (3 issues).
- $$\begin{aligned}P(E) &= \frac{3}{6} \\ &= \frac{1}{2} \end{aligned}$$
Règle du complémentaire
S'il y a \(40\pourcent\) de chances qu'il pleuve demain, quelle est la chance qu'il ne pleuve pas ?\(100\pourcent - 40\pourcent = 60\pourcent\) Ce calcul est une application de la règle du complémentaire. C'est un raccourci pour trouver la probabilité qu'un événement n'arrive pas.
Proposition Règle du complémentaire
Pour tout événement \(E\) et son événement complémentaire \(E'\), la somme de leurs probabilités doit être égale à \(1\) (ou \(100\pourcent\)) :$$\textcolor{colorprop}{P(E) + P(E') = 1}$$Cela mène à la formule utile pour trouver la probabilité du complémentaire :$$\textcolor{colorprop}{P(E') = 1 - P(E)}$$
Exemple
Farid a une probabilité de \(0{,}8\) (\(80\pourcent\)) de finir ses devoirs à temps ce soir (événement \(E\)). Quelle est la probabilité qu’il ne finisse pas à temps ?
L’événement complémentaire \(E'\) est « Farid ne termine pas ses devoirs à temps ». En utilisant la règle du complémentaire :$$\begin{aligned}P(E') &= 1 - P(E) \\
&= 1 - 0{,}8 \\
&= 0{,}2\end{aligned}$$Il y a donc une probabilité de \(0{,}2\) (ou \(20\pourcent\)) qu’il ne finisse pas à temps.
Probabilité expérimentale
Jusqu’à présent, nous avons calculé la probabilité théorique. C’est ce à quoi nous nous attendons en utilisant la logique. Par exemple, on s’attend à ce qu’une pièce tombe sur face la moitié du temps, donc on dit que \(P(\text{Face}) = \frac{1}{2}\).
Mais que faire si nous ne pouvons pas utiliser la logique ? Et si les issues ne sont pas équiprobables ? Dans ces cas-là, nous devons faire une expérience pour estimer la probabilité.
Mais que faire si nous ne pouvons pas utiliser la logique ? Et si les issues ne sont pas équiprobables ? Dans ces cas-là, nous devons faire une expérience pour estimer la probabilité.
Isaac veut trouver la probabilité qu’un cône qu’il laisse tomber atterrisse sur sa base. Les issues sont « sur la base » ou « sur le côté ».
- Sur la base : 15 fois.
- Sur le côté : 35 fois.
Définition Probabilité expérimentale (Fréquence relative)
La probabilité expérimentale d’un événement est une estimation que l’on trouve en répétant une expérience de nombreuses fois. On la calcule avec la formule :$$ \text{Probabilité expérimentale} = \frac{\text{Nombre de fois où un événement se produit}}{\text{Nombre total d’essais}} $$Plus on fait d’essais, meilleure sera notre estimation de la vraie probabilité.