Entiers relatifs

Imaginons un monde avec deux types de particules : les positives (+) et les négatives (-). Elles interagissent de manière spécifique.

• Lorsque des particules du même type se rencontrent, elles unissent leurs forces.
• Lorsqu'une particule positive et une négative se rencontrent, elles s'annulent, ne laissant rien. C'est une paire nulle.
• Voyons ce qui se passe si 2 positifs rencontrent 1 négatif. Une paire nulle se forme, laissant 1 positif.
• Pour indiquer le type de particule, on place un signe devant le nombre :
  • Le signe + pour un groupe de positifs.
  • Le signe - pour un groupe de négatifs.
• Voyons maintenant ce qui se passe lorsque 3 positifs rencontrent 1 négatif. Il reste 2 positifs.
• Finalement, voyons ce qui se passe lorsque 2 positifs rencontrent 2 négatifs. Il ne reste plus aucune particule : il reste \(0\).

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• Donc, \(\textcolor{colordef}{(+1)}+\textcolor{colorprop}{(-2)}=\textcolor{colorprop}{-1}\).

• \(\textcolor{colorprop}{(-10)}+\textcolor{colordef}{(+3)}=\textcolor{colorprop}{-7} \quad \text{car }10-3=7.\)
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• • Pour la soustraction, \(\textcolor{colordef}{(+3)}-\textcolor{colordef}{(+2)}\) : nous retirons \(2\) positifs de \(3\) positifs, ce qui nous laisse avec \(1\) positif.
  • Pour l'addition, \(\textcolor{colordef}{(+3)}+\textcolor{colorprop}{(-2)}\) : nous retirons encore \(2\) positifs de \(3\) positifs.
  • Donc, ces deux opérations sont équivalentes : \(\textcolor{colordef}{(+3)}-\textcolor{colordef}{(+2)}=\textcolor{colordef}{(+3)}+\textcolor{colorprop}{(-2)}\) Cela montre que soustraire un nombre positif revient au même qu'ajouter son opposé.
• • Pour la soustraction, \(\textcolor{colorprop}{(-3)}-\textcolor{colorprop}{(-2)}\) : nous retirons \(2\) négatifs de \(3\) négatifs, ce qui nous laisse avec \(1\) négatif.
  • Pour l'addition, \(\textcolor{colorprop}{(-3)}+\textcolor{colordef}{(+2)}\) : nous retirons encore \(2\) négatifs de \(3\) négatifs.
  • Donc, ces deux opérations sont équivalentes : \(\textcolor{colorprop}{(-3)}-\textcolor{colorprop}{(-2)}=\textcolor{colorprop}{(-3)}+\textcolor{colordef}{(+2)}\) Cela montre que soustraire un nombre négatif revient au même qu'ajouter son opposé.
• En conclusion, ces exemples montrent un principe fondamental de l'arithmétique : soustraire un nombre revient à ajouter son opposé.

$$\begin{aligned}[t]\textcolor{colordef}{(+4)}-\textcolor{colorprop}{(-2)}&=\textcolor{colordef}{(+4)}+\textcolor{colordef}{(+2)}&&\text{(ajouter l'opposé)}\\ &=\textcolor{colordef}{+6}&&\text{(même signe : ajouter les valeurs absolues)}\end{aligned}$$

• Pour représenter à la fois les nombres positifs et négatifs sur une droite numérique, nous étendons la droite dans les deux directions à partir de zéro.
• À chaque déplacement de gauche à droite de \(1\), le nombre augmente de \(1\) : \(0+1=\textcolor{colordef}{+1}\), \(\textcolor{colordef}{+1}+1=\textcolor{colordef}{+2},\dots\)
• À chaque déplacement de droite à gauche de \(1\), le nombre diminue de \(1\) : \(0-1=\textcolor{colorprop}{-1}\), \(\textcolor{colorprop}{-1}-1=\textcolor{colorprop}{-2},\dots\)

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• Donc, \(x=\textcolor{colorprop}{-2}\).

Dans l'ensemble des entiers relatifs, l'ordre est défini comme suit :$$\dots\lt\textcolor{colorprop}{-3}\lt\textcolor{colorprop}{-2}\lt\textcolor{colorprop}{-1}\lt 0 \lt \textcolor{colordef}{+1}\lt\textcolor{colordef}{+2}\lt\textcolor{colordef}{+3}\lt\dots$$Ainsi, en se déplaçant sur la droite numérique de gauche à droite, les nombres augmentent.

• Comme \(\textcolor{colordef}{+3}\) est à droite de \(\textcolor{colorprop}{-5}\), \(\textcolor{colorprop}{-5} \lt \textcolor{colordef}{+3}\). Donc, lorsqu'un nombre est positif et l'autre négatif, le nombre positif est plus grand.
• Comme \(\textcolor{colorprop}{-2}\) est à droite de \(\textcolor{colorprop}{-4}\), \(\textcolor{colorprop}{-4}\lt \textcolor{colorprop}{-2}\). Donc, lorsque les deux nombres sont négatifs, le nombre le plus proche de zéro est plus grand (le nombre avec la plus petite valeur absolue est plus grand).
• Comme \(\textcolor{colordef}{+6}\) est à droite de \(\textcolor{colordef}{+4}\), \(\textcolor{colordef}{+4}\lt \textcolor{colordef}{+6}\). Donc, lorsque les deux nombres sont positifs, le nombre le plus éloigné de zéro est plus grand (le nombre avec la plus grande valeur absolue est plus grand).

• Comme \(\textcolor{colordef}{+3}\) est positif et \(\textcolor{colorprop}{-4}\) est négatif, le nombre positif est plus grand que le nombre négatif : \(\textcolor{colorprop}{-4} < \textcolor{colordef}{+3}\).
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