Puissances
Les puissances sont un moyen efficace d'exprimer une multiplication répétée. Elles nous aident à travailler plus facilement avec de grands nombres.
Définitions
Imagine que tu as un échiquier. Tu places deux grains de blé sur la première case, quatre grains sur la deuxième case, huit grains sur la troisième case, et ainsi de suite, en doublant le nombre de grains sur chaque case suivante.
Cela signifie qu'il y a \(2^{64}\) grains sur la dernière case. Avec une calculatrice :$$2^{64}=18\,446\,744\,073\,709\,551\,616.$$C'est un nombre énorme !
| Numéro de la case | Nombre de grains |
| \(1\) | \(2\) |
| \(2\) | \(2 \times 2\) |
| \(3\) | \(2 \times 2 \times 2\) |
| \(\vdots\) | \(\vdots\) |
| \(64\) | \(\overbrace{2 \times 2 \times \dots \times 2}^{64\ \text{facteurs}}\) |
Cela signifie qu'il y a \(2^{64}\) grains sur la dernière case. Avec une calculatrice :$$2^{64}=18\,446\,744\,073\,709\,551\,616.$$C'est un nombre énorme !
Définition Puissance
La puissance d'un nombre est le résultat de la multiplication répétée de ce nombre par lui-même.
Pour un nombre \(a\) et un entier positif \(n\),$$a^n = \overbrace{a \times a \times \dots \times a}^{n\ \text{facteurs}}.$$
Pour un nombre \(a\) et un entier positif \(n\),$$a^n = \overbrace{a \times a \times \dots \times a}^{n\ \text{facteurs}}.$$
Exemple
Écris sous forme de puissance : \(5 \times 5 \times 5\).
\(5 \times 5 \times 5 = 5^3\)
Définition Vocabulaire
$$\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline\text{Valeur} & \text{Multiplication répétée} & \text{Puissance} & \text{À l'oral} \\
\hline2 & 2 & 2^1 & 2\ \text{ou}\ 2\ \text{puissance}\ 1 \\
4 & 2 \times 2 & 2^2 & 2\ \text{au carré ou}\ 2\ \text{puissance}\ 2 \\
8 & 2 \times 2 \times 2 & 2^3 & 2\ \text{au cube ou}\ 2\ \text{puissance}\ 3 \\
16 & 2 \times 2 \times 2 \times 2 & 2^4 & 2\ \text{puissance}\ 4 \\
32 & 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 & 2^5 & 2\ \text{puissance}\ 5 \\
\hline\end{array}$$
Exemple
Détermine la valeur de \(2^3\).
$$\begin{aligned}[t]2^3 &= 2 \times 2 \times 2 \\
&= 8\end{aligned}$$
Ordre des opérations
L'ordre des opérations est un ensemble de règles qui nous indique quelles opérations faire en premier dans une expression mathématique.
Définition Ordre des opérations
Pour résoudre les expressions mathématiques avec précision, nous suivons l'ordre des opérations, qui est souvent mémorisé à l'aide de l'acronyme PEMDAS :
- P : Parenthèses
- E : Exposants
- M : Multiplication
- D : Division
- A : Addition
- S : Soustraction
Exemple
Calcule \((1+2) \times 2^3 + 4\).
$$\begin{aligned}[t](1+2) \times 2^3 + 4 &= \textcolor{colordef}{(1+2)} \times 2^3 + 4 && (\text{parenthèses : } \textcolor{colordef}{(1+2)} = 3) \\
&= 3 \times \textcolor{colordef}{2^3} + 4 && (\text{exposant : } \textcolor{colordef}{2^3} = 8) \\
&= \textcolor{colordef}{3 \times 8} + 4 && (\text{multiplication : } \textcolor{colordef}{3 \times 8} = 24) \\
&= \textcolor{colordef}{24 + 4} && (\text{addition : } \textcolor{colordef}{24 + 4} = 28) \\
&= 28\end{aligned}$$