Éléments de géométrie
Points
Définition Point
Un point indique une position exacte dans l'espace. On le dessine par un petit point.
Définition Notation d’un point
On nomme généralement un point avec une lettre majuscule, par exemple \(A\).
En mathématiques, on imagine qu’un point n’a ni taille ni forme. Il sert seulement à indiquer une position.
Exemple
Le diagramme ci-dessous montre trois points étiquetés \(A\), \(B\) et \(C\) :
Droites\(\virgule\) segments et demi-droites
Définition Droite
Une droite est un chemin droit qui continue à l’infini dans les deux sens.
Définition Notation d’une droite
- Une droite peut être nommée avec une lettre minuscule, notée \(\LineFr{d}\).
- Une droite peut être nommée par deux points qui lui appartiennent, notée \(\LineFr{AB}\).
Exemple
Nomme la droite ci-dessous :
La droite est \(\LineFr{EF}\).
Définition Segment
Un segment est la partie d’une droite comprise entre deux extrémités. Il a une longueur bien définie.
Définition Notation d’un segment
On nomme un segment par ses extrémités, noté \(\SegmentFr{AB}\). On lit « le segment \(AB\) ».
Exemple
Nomme le segment ci-dessous :
Le segment est \(\SegmentFr{EF}\).
Définition Demi-droite
Une demi-droite est une partie de droite qui commence en un point et s’étend à l’infini dans une seule direction.
Définition Notation d’une demi-droite
On nomme une demi-droite par son extrémité puis un autre point qui est dessus, notée \(\RayFr{AB}\). On lit « la demi-droite \(AB\) ».
Exemple
Nomme la demi-droite ci-dessous :
La demi-droite est \(\RayFr{EF}\).
Définition Points alignés
Les points alignés sont des points qui se trouvent sur la même droite.
Exemple
Les points \(A\), \(B\) and \(C\) sont alignés.
Relation d'appartenance
Définition Relation d'appartenance
La relation est un point de (ou « appartient à ») est utilisée pour indiquer qu’un point se trouve sur une figure géométrique, comme une droite ou un segment. On écrit cette relation avec le symbole \(\in\).
Exemple
\(C \in \LineFr{AB}\) et \(C \notin [AB]\)Longueur
Définition Longueur d’un segment
La longueur d’un segment est la distance entre ses deux extrémités, mesurée en unités comme le centimètre (cm) ou le mètre (m).
Définition Notation de la longueur
Si \([AB]\) est un segment, sa longueur se note \(AB\) (sans crochet). Sur la figure ci-dessous, la longueur du segment \([AB]\) est de 2 cm.
Définition Longueurs égales
Deux segments sont égaux en longueur s’ils ont la même longueur. On utilise des barres sur les segments : des segments portant le même nombre de barres ont la même longueur.
Exemple
Identifie deux segments qui ont la même longueur.
Les segments \(\SegmentFr{AB}\) et \(\SegmentFr{AC}\) ont la même longueur, comme l’indiquent leurs barres identiques. On écrit donc \(AB = AC\).
Méthode Mesure de la longueur
Nous mesurons la longueur d’un segment avec une règle. On place une extrémité sur le 0, puis on lit la graduation à l’autre extrémité : ce nombre est la longueur du segment.
Exemple
Mesure la longueur du segment \(\SegmentFr{AB}\).
En alignant une règle avec le segment \(\SegmentFr{AB}\), on mesure une longueur \(AB = 4 \,\text{cm}\). La longueur du segment \(AB\) est donc de \(4\) cm.
Point d’intersection
Définition Point d’intersection
Un point d’intersection est un point où deux ou plusieurs droites, segments ou demi-droites se croisent.
Exemple
Trouve le point d’intersection des droites \(\LineFr{AB}\) et \(\LineFr{CD}\).
Le point d’intersection est \(I\).
Droites parallèles
Définition Droites parallèles
Deux droites parallèles sont des droites qui restent toujours à la même distance l’une de l’autre et ne se croisent jamais, même si on les prolonge.
Définition Notation des droites parallèles
Sur un dessin, les droites parallèles sont indiquées par de petites flèches identiques sur chaque droite.
Droites perpendiculaires
Définition Droites perpendiculaires
Deux droites perpendiculaires sont des droites qui se coupent à un angle droit (90 degrés). On note \(\LineFr{AB} \perp \LineFr{CD}\) pour indiquer que la droite \(\LineFr{AB}\) est perpendiculaire à la droite \(\LineFr{CD}\).
Exemple
Identifie la paire de droites perpendiculaires dans la figure ci-dessous.
Les droites \(\LineFr{AB}\) et \(\LineFr{CD}\) sont perpendiculaires, car elles se coupent en formant un angle droit, indiqué par le symbole d’angle droit.
Milieu d'un segment et médiatrice d'un segment
Définition Milieu d’un segment
Le milieu d’un segment est un point qui se trouve sur le segment et le divise en deux segments de même longueur.Par exemple, si \(I\) est le milieu du segment \(\SegmentFr{AB}\) (c’est-à-dire du segment [AB]), alors \(I \in [AB]\) et \(AI = IB\).
Proposition Propriété de longueur du milieu
Si le point \(I\) est le milieu du segment \(\SegmentFr{AB}\), alors \(AB = 2 \times AI\) et \(AI = \frac{AB}{2}\).
$$\begin{aligned}AB &= AI + IB &&(I \text{ est le milieu de } \SegmentFr{AB})\\
&= AI + AI\\
&= 2 \times AI\end{aligned}$$Ainsi, \(AB = 2 \times AI\). Pour exprimer \(AI\) en fonction de \(AB\), on obtient :$$AI = \frac{AB}{2}.$$
Définition Médiatrice d'un segment
La médiatrice d'un segment est la droite qui passe par son milieu et qui lui est perpendiculaire.
Méthode Construire la médiatrice de \(\SegmentFr{AB}\)
- Construire, à l’aide du compas, deux arcs de cercle de même rayon et de centres \(A\) et \(B\).
- Les arcs de cercle se coupent en \(E\) et \(F\).
- La médiatrice de \(\SegmentFr{AB}\) est la droite \(\LineFr{EF}\).
Propriétés des droites parallèles
Proposition Propriétés des droites parallèles
Les propriétés suivantes permettent de savoir si deux droites sont parallèles ou perpendiculaires.
- Si la droite \(\LineFr{l_1}\) est parallèle à la droite \(\LineFr{l_2}\) et que la droite \(\LineFr{l_2}\) est parallèle à la droite \(\LineFr{l_3}\), alors la droite \(\LineFr{l_1}\) est parallèle à la droite \(\LineFr{l_3}\).
Si 
, alors 
. - Si la droite \(\LineFr{l_1}\) est perpendiculaire à la droite \(\LineFr{l_3}\) et que la droite \(\LineFr{l_2}\) est perpendiculaire à la droite \(\LineFr{l_3}\), alors la droite \(\LineFr{l_1}\) est parallèle à la droite \(\LineFr{l_2}\).
Si 
, alors 
. - Si la droite \(\LineFr{l_1}\) est parallèle à la droite \(\LineFr{l_2}\) et que la droite \(\LineFr{l_1}\) est perpendiculaire à la droite \(\LineFr{l_3}\), alors la droite \(\LineFr{l_2}\) est perpendiculaire à la droite \(\LineFr{l_3}\).
Si 
, alors 
.