Nombres entiers

Construire des nombres

Découverte Des milliers aux dizaines de milliers

Nous avons appris à regrouper les unités, les dizaines et les centaines. La logique continue ! Pour construire des nombres encore plus grands, nous regroupons les milliers.
On regroupe 10 milliers pour former 1 dizaine de milliers :

= $10$ thousands = $1$ ten thousand =

Notre tableau des valeurs de position a maintenant besoin d'une nouvelle colonne plus grande pour les dizaines de milliers.

Dizaines de milliers	Milliers	Centaines	Dizaines	Unités
1	2	4	3	5

Ce tableau nous montre que nous avons 1 dizaine de milliers, 2 milliers, 4 centaines, 3 dizaines et 5 unités. Cela forme le nombre $12\,435$.

Définition Nombre à 5 chiffres

Dans le système à base 10, la place d'un chiffre nous indique sa valeur. On peut représenter un nombre comme $12\,435$ de plusieurs façons :

Avec des chiffres : $$12\,435$$
En forme développée : $$\begin{aligned}[t] 1\text{ dizaine de millier }&+ &2\text{ milliers }&+ &4\text{ centaines }&+ &3\text{ dizaines }&+& 5\text{ unités }\\ 10\,000 &+ &2\,000 &+ &400 &+ &30 &+& 5 \\ 1\times 10\,000 &+& 2\times 1\,000 &+& 4\times 100 &+& 3\times 10 &+& 5\times 1 \\ \end{aligned}$$
Avec des mots : douze-mille-quatre-cent-trente-cinq
Dans un tableau de valeurs :

Dizaines de milliers Milliers Centaines Dizaines Unités

1 2 4 3 5
Avec des blocs :

Sur la droite numérique

Une droite numérique nous aide à voir les nombres dans l'ordre. On peut l'utiliser pour compter de un en un, ou on peut faire de plus grands sauts pour compter plus vite. Avec de grands nombres, on peut imaginer des droites numériques qui sautent de cent en cent ou même de mille en mille !

Compter par dizaines : 0, 10, 20, 30...
Compter par centaines : 0, 100, 200, 300...
Compter par milliers : 0, 1 000, 2 000, 3 000...

Définition Droite numérique

Une droite numérique est une ligne qui montre les nombres dans l'ordre. En allant à droite, on ajoute le même nombre.

Les grands nombres

En mathématiques, le système de numération est organisé pour gérer des nombres de n'importe quelle grandeur. Pour lire, écrire et comprendre de grands nombres comme les millions et les milliards, nous regroupons les chiffres par séries de trois.

Définition Les classes de valeur de position

Chaque classe a un nom spécifique et se compose de trois positions : les unités, les dizaines et les centaines. La valeur des classes augmente par un facteur de mille.

Un millier, c'est $1\,000$ unités.
Un million, c'est $1\,000$ milliers ($1\,000\,000$).
Un milliard, c'est $1\,000$ millions ($1\,000\,000\,000$).

Un nombre peut être représenté sous plusieurs formes.

Tableau de numération :
Forme standard : $$340\,120\,000\,000$$
En mots :Trois cent quarante milliards cent vingt millions
Forme décomposée : $$300\,000\,000\,000 + 40\,000\,000\,000 + 100\,000\,000 + 20\,000\,000$$

Exemple Visualiser l'échelle des grands nombres

Pour comprendre la grandeur de ces nombres, considérons la hauteur d'une pile de billets de un dollar :

Mille dollars ($1\,000\,\dollar $) formeraient une pile d'environ $10$ centimètres de haut.
Un million de dollars ($1\,000\,000\,\dollar $) formeraient une pile d'environ $100$ mètres de haut, similaire à un gratte-ciel.
Un milliard de dollars ($1\,000\,000\,000\,\dollar $) formeraient une pile d'environ $100$ kilomètres de haut, atteignant l'espace.

Comparer des nombres

Définition Comparer les nombres

Comparer, c'est regarder deux ou plusieurs nombres pour voir lequel est plus grand, plus petit, ou s'ils sont égaux (la même quantité).

Définition Signes de comparaison

Nous utilisons des symboles spéciaux pour écrire nos comparaisons :

Symbole	Signification	Exemple
$=$	est égal à
$>$	est supérieur à
$<$	est inférieur à

Astuce : La bouche de l'alligator
Pense aux symboles $>$ et $<$ comme à la bouche d'un alligator affamé. L'alligator veut toujours manger le plus grand nombre !

$\quad$

La bouche ouverte est toujours tournée vers le plus grand nombre.

Méthode Procédure pour comparer des nombres entiers

Pour comparer deux nombres entiers, suivre la procédure systématique suivante :

Comparer le nombre de chiffres. Le nombre qui a le plus de chiffres est le plus grand. S'ils ont le même nombre de chiffres, passer à l'étape suivante.
Comparer le chiffre le plus à gauche. Commencer par le chiffre de la plus grande valeur de position pour chaque nombre. Le nombre avec le plus grand chiffre à cette position est le plus grand.
Passer au chiffre suivant si nécessaire. Si les chiffres de gauche sont identiques, se déplacer d'une position vers la droite et comparer les chiffres à cette position.
Répéter le processus. Continuer ce processus de gauche à droite jusqu'à trouver une position où les chiffres diffèrent. Le nombre avec le plus grand chiffre à cette position est le plus grand. Si tous les chiffres sont identiques, les nombres sont égaux.

Exemple

Comparer 352 et 289.

Correction

Les deux nombres ont 3 chiffres. Nous procédons à la comparaison du chiffre le plus à gauche (la position des centaines).
Le nombre 352 a un 3 à la position des centaines.
Le nombre 289 a un 2 à la position des centaines.
Comme $3 > 2$, on conclut que 352 > 289. Aucune autre comparaison n'est nécessaire.

Encadrer un nombre

Définition Encadrer un nombre

Encadrer un nombre consiste à identifier les deux multiples consécutifs d'une position donnée (par ex., dizaine, centaine, millier) entre lesquels se situe le nombre.

Méthode Procédure pour encadrer

Pour encadrer un nombre par rapport à une position spécifique :

Déterminer la borne inférieure. Conserver les chiffres à gauche de la position cible et remplacer ceux à droite par des zéros.
Déterminer la borne supérieure. Ajouter un au chiffre de la position cible et remplacer tous les chiffres à sa droite par des zéros.

Exemple

Encadrer le nombre $365$ par les centaines.

Correction

La position cible est celle des centaines. Le chiffre est 3.
Borne inférieure : Conserver le 3, remplacer les chiffres suivants par des zéros. La borne inférieure est 300.
Borne supérieure : Ajouter 1 au chiffre des centaines ($3+1=4$), remplacer les chiffres suivants par des zéros. La borne supérieure est 400.
Par conséquent, 365 est encadré par 300 et 400. Cela peut s'écrire $300 \leq 365 < 400$.

Arrondir les nombres

Découverte

Imagine que tu as 29 billes. Si un ami te demande combien tu en as, tu pourrais les compter une par une. Mais si tu voulais donner une réponse rapide ? Tu dirais probablement : « J'ai environ 30 billes. »
Quand tu fais cela, tu es en train d'arrondir. On arrondit les nombres pour les rendre plus simples et plus faciles à utiliser.

Méthode Procédure standard pour arrondir

Pour arrondir un nombre à une position spécifique, la procédure suivante est appliquée :

Identifier le chiffre cible : Localiser le chiffre à la position à laquelle tu arrondis.
Examiner le chiffre adjacent : Observer le chiffre immédiatement à droite du chiffre cible.
Appliquer la règle d'arrondi :
- Si le chiffre adjacent est 5 ou plus (5, 6, 7, 8, 9), incrémenter le chiffre cible de un. On parle d'arrondir à la hausse.
- Si le chiffre adjacent est 4 ou moins (0, 1, 2, 3, 4), le chiffre cible reste inchangé. On parle d'arrondir à la baisse.
Remplacer par des zéros : Remplacer tous les chiffres à droite du chiffre cible par des zéros.

Exemple

Arrondir $365$ à la centaine la plus proche.

Correction

La procédure est exécutée comme suit :$$\begin{aligned}[t]&\textcolor{colordef}{\underline{3}}65 && \text{1. Le chiffre cible à la position des centaines est } \textcolor{colordef}{3}.\\ &\textcolor{colordef}{3}\textcolor{colorprop}{\underline{6}}5 && \text{2. Le chiffre à sa droite est } \textcolor{colorprop}{6}.\\ &&&\text{3. Comme } \textcolor{colorprop}{6} \ge 5, \text{ le chiffre cible est arrondi à la hausse : } \textcolor{colordef}{3}+1 = \textcolor{olive}{4}.\\ &\textcolor{olive}{4}\textcolor{purple}{00} && \text{4. Les chiffres suivants sont remplacés par des zéros.}\end{aligned}$$Par conséquent, $365$ arrondi à la centaine la plus proche est $400$.