Formules d’aires
Aire d'un rectangle ou d'un carré
Compter chaque carré pour trouver l’aire peut prendre beaucoup de temps. Voyons s’il existe un raccourci.
Considérons un rectangle de 5 unités de longueur et 3 unités de largeur.
Cela montre que l’on peut trouver l’aire d’un rectangle en multipliant simplement sa longueur par sa largeur.
Considérons un rectangle de 5 unités de longueur et 3 unités de largeur.
Cela montre que l’on peut trouver l’aire d’un rectangle en multipliant simplement sa longueur par sa largeur.
Proposition Formules d’aire
Pour trouver l’aire d’un rectangle, on multiplie sa longueur par sa largeur.Pour trouver l’aire d’un carré, on multiplie la longueur d’un côté par elle-même.
| Forme | Diagramme | Formule d’aire |
| Rectangle |  | \(A = L \times l\) |
| Carré |  | \(A = c \times c\) |
Exemple
Trouve l’aire du rectangle :
C’est un rectangle avec une longueur \(L = 8\) m et une largeur \(l = 4\) m. En utilisant la formule de l’aire d’un rectangle :$$\begin{aligned}[t]A &= L \times l \\
&= 8 \times 4 \\
&= 32 \, \mathrm{m}^2\end{aligned}$$L’aire est de \(32\) mètres carrés (on lit \(32\,\mathrm{m}^2\) « 32 mètres carrés »).
Aire d’un triangle
Pour trouver l’aire d’un triangle, nous pouvons le couper le long de sa hauteur pour former deux triangles plus petits, puis les réorganiser pour former un rectangle. Voyons comment cela fonctionne étape par étape avec le triangle ci-dessous :
- Coupe le triangle le long de la hauteur \(CH\) pour former deux triangles plus petits. Tourne et réorganise ces triangles pour former un rectangle :
- L'aire du rectangle est la longueur multipliée par la hauteur : \(4 \times 3 = 12 \,\text{cm}^2\). Puisque l'aire du rectangle est égale à deux fois celle du triangle initial, l'aire du triangle est la moitié de l’aire du rectangle :$$\begin{aligned}A_\triangle &= \dfrac{\text{base} \times \text{hauteur}}{2}\\ &= \dfrac{4 \times 3}{2}\\ &= 6 \,\text{cm}^2.\end{aligned}$$
Proposition Aire d’un triangle
L’aire d’un triangle se trouve en multipliant la base par la hauteur et en divisant par 2 :$$\text{Aire d’un triangle} = \dfrac{\text{base} \times \text{hauteur}}{2}$$$$A = \dfrac{b \times h}{2}$$où \(b\) est la longueur de la base et \(h\) la hauteur correspondante.
Exemple
Trouve l’aire du triangle :
$$\begin{aligned}[t]A &= \dfrac{b \times h}{2} \\
&= \dfrac{4 \times 2}{2} \\
&= 4 \, \text{cm}^2\end{aligned}$$Donc, l’aire du triangle est \(4 \,\text{cm}^2\).
Aire d’un parallélogramme
Pour trouver l’aire d’un parallélogramme, nous pouvons le transformer en rectangle en déplaçant un triangle d’un côté à l’autre. Voyons comment cela fonctionne étape par étape avec le parallélogramme ci-dessous :
- Dessine la hauteur, une ligne qui va du côté supérieur au côté inférieur et qui est perpendiculaire à la base :
- Coupe le triangle à droite :
- Déplace le triangle vers la gauche pour former un rectangle :
- Maintenant, nous avons un rectangle avec une longueur (base) de \(4\) cm et une hauteur de \(3\) cm. L’aire du parallélogramme est la même que celle de ce rectangle, qui est la base multipliée par la hauteur : \(4 \times 3 = 12 \, \text{cm}^2\).
Proposition Aire d’un parallélogramme
L’aire d’un parallélogramme se trouve en multipliant la base par la hauteur :$$\text{Aire d’un parallélogramme} = \text{base} \times \text{hauteur}$$$$A = b \times h,$$où \(b\) est la base et \(h\) la hauteur.
Exemple
Trouve l’aire du parallélogramme :
$$\begin{aligned}[t]A &= b \times h \\
&= 4 \times 2 \\
&= 8 \, \text{cm}^2\end{aligned}$$Donc, l’aire du parallélogramme est \(8 \,\text{cm}^2\).
Aire d’un cercle
Pour trouver l’aire d’un cercle, nous pouvons le diviser en petites parties et les réorganiser pour former un parallélogramme approximatif. Voyons comment cela fonctionne étape par étape :
- Divise le cercle en 12 parties égales, comme des parts de tarte :
- Imagine couper ces 12 parties du cercle.
- Réorganise les parties en les alternant pour former une forme qui ressemble à un parallélogramme :
- La base du parallélogramme est approximativement la moitié de la circonférence du cercle (\(\pi r\)), et sa hauteur est approximativement le rayon (\(r\)). Donc, l’aire du cercle est l’aire de ce parallélogramme :$$\begin{aligned}A_\text{cercle} &= (\pi r) \times r \\ &= \pi \times r \times r \\ &= \pi r^2.\end{aligned}$$On lit cette formule « pi \(r\) carré ».
Proposition Aire d’un cercle
L’aire d’un cercle se trouve en multipliant \(\pi\) par le rayon au carré :$$\text{Aire d’un cercle} = \pi \times \text{rayon} \times \text{rayon} $$$$A = \pi r \times r = \pi r^2$$
Exemple
Trouve l’aire du cercle :
$$\begin{aligned}[t]A &= \pi \times r \times r \\
&= \pi \times 3 \times 3 \\
&= 9\pi \\
&\approx 28{,}3 \, \text{cm}^2 \quad (\text{en utilisant } \pi \approx 3{,}14)\end{aligned}$$
Formules d’aires
Proposition Formules d’aires
Voici les formules d’aire de quelques formes courantes.
| Nom | Forme | Aire |
| Rectangle |  | \(A = L \times l\) |
| Carré |  | \(\begin{aligned}A &= c \times c \\&= c^2\end{aligned}\) |
| Parallélogramme |  | \(A = b \times h\) |
| Triangle |  | \(A = \dfrac{b \times h}{2}\) |
| Cercle | | \(\begin{aligned}A &= \pi \times r \times r \\&= \pi r^2\end{aligned}\) |
Aire des figures composites
Définition Figure composite
Une figure composite est constituée de deux ou plusieurs formes géométriques simples, comme des rectangles, des triangles ou des cercles, combinées ensemble.
Méthode Trouver l’aire d’une figure composite
Pour trouver l’aire d’une figure composite, suis ces étapes :
- Divise la figure en formes simples et non superposées, comme des rectangles, des triangles ou des cercles.
- Trouve l’aire de chaque forme simple en utilisant la formule appropriée.
- Additionne les aires pour obtenir l’aire totale de la figure composite.
Exemple
Trouve l’aire de la figure composite ci-dessous, qui est composée d’un carré et d’un triangle :
